Tiêu đề Đề số 7.docx ✅

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 7 Câu 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức , với . a) Rút gọn biểu thức . b) Biết . Tỉnh giá trị của biểu thức . Câu 2. (3,0 điểm) Cho hệ phương trình: ( lả tham số). Chưng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của và . Câu 3. (4,0 điểm) a) Giải phương trình . b) Tìm các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn . Câu 4. (2,0 điểm) Phòng giáo đục và Đào tạo huyện A chọn một nhóm gồm học sinh cạ́p Tiểu học và học sinh cấp Trung học cơ sở để tham gia Kỳ thi Violympic cấp tỉnh. Ban đầu, Phòng giáo dục và Đào tạo huyện A dự kiến chọn học sinh Tiều học trong nhóm học sinh dự thi. Do đơn vị tổ chức không đù máy vi tính nên Phòng giáo đục và Đào tạo huyện A phải giảm số học sinh dự thi của mỗi cấp là 30 . Vì vậy số học sinh Tiểu học được chọn chiếm trong nhóm học sinh dự thi. Hỏi trong nhóm học sinh dự thi theo thực tế có bao nhiêu học sinh của mỗi cấp học? Câu 5. (2,0 điểm) Anh Bình cần rút tiền trong thẻ ATM để chi tiêu cá nhân nhưng lại quên mật khẩu đăng nhập tài khoản. Biết rằng mật khẩu là một số chính phương A có bốn chữ số, nếu bớt đi mỗi chữ số của số A một đơn vị thì được số mới là số chính phương có bốn chữ số. Em hãy giúp anh Bình tìm lại mật khẩu đã quên. Câu 6. (4,0 điểm) Cho hai đường tròn và với cắt nhau tại hai điểm và . Trên tia đối của tia lấy điểm . Qua điểm kẻ các tiếp tuyến với đường tròn , trong đó là các tiếp điểm và nằm trong đường tròn . Các đường thằng cắt đường tròn lần lượt tại và và khác . Tia cát doạn thẳng tại . Chứng minh: a) Các điểm cùng nằm trên một dường tròn. b) . c) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng . Câu 7. (2,0 điểm) Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . --------------HẾT------------- Ghi chú: - Thi sinh không được sử dung tài liệu và máy tính cầm tay. ĐÁP ÁN Câu 1. (3.0 điểm)
Cho biểu thức 33 xyxy P xyxyyx    với 0yx . a) Rút gọn biểu thức P b) Biết 1121xyxy . Tính giá trị của biểu thức P LỜI GIẢI. a)          xyxxyyxxyyxxyyxy xy P xyxyxyxyxyxy xyyxxy xyxyxy       Vậy xyP xy   b) 2112120()xyxyxyxxyyxyxy Vì 0yx nên 0xy . Suy ra 1yx xyxyyxP xy    Câu 2. (3.0 điểm) Cho hệ phương trình   341 322 xmym mxym     ( m là tham số). Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất 00;xy với mọi giá trị của m và 2200006170xyxy LỜI GIẢI.  Xét 0m , ta có 3,2xy thoả mãn yêu cầu bài toán  Xét 0m : Do 1 m m nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất Khi đó: 3,4,2xyy và 321;2 43 xy mm yx    Suy ra 22223269686170 43 xy xxyyxyxy yx    (dpcm) Câu 3. (4.0 điểm) a) Giải phương trình: 22231447xxxxx b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 22221(1)30xmmxm có hai nghiệm phân biệt 12,xx thoả mãn 21220xx
LỜI GIẢI. a) Với điều kiện 3 7 2x , hệ phương trình đã cho tương đương với:  222 2 2 2232374740 (23)(72)0 (23)0  3t/m (72)0 xxxxxxxxx xx x x       Vậy 3x là nghiệm của phương trình đã cho. b) Phương trình đã cho tương đương với 22212220xmmxmm với các hệ số 22 1,12,22abmmcmm Ta có nhận xét 22112220mmmm nên phương trình đã cho có nghiệm 21,22xxmm . Theo giả thiết, 21220*xx , ta xét các trường hợp sau:  Trường hợp 1: 21222,1xmmx 22*2230mm (vô lí vì 222230mmmR  Trường hợp 2: 2121,22xxmm 22*12220(1)01mmmm Câu 4. (2.0 điểm) Phòng giáo dục và Đào tạo huyện A chọn một nhóm học sinh cấp Tiểu học và học sinh cấp Trung học cơ sở để tham gia Kỳ thi Violympic cấp tỉnh. Ban đầu, Phòng giáo dục và Đào tạo huyện A dự kiến chọn 60% học sinh Tiểu học trong nhóm học sinh dự thi. Do đơn vị tổ chức không đủ máy vi tính nên Phòng giáo dục và Đào tạo huyện A phải giảm số học sinh dự thi của mỗi cấp là 30 . Vì vậy số học sinh Tiểu học được chọn chiếm 62% trong nhóm học sinh dự thi. Hỏi trong nhóm học sinh dự thi theo thực tế có bao nhiêu học sinh của mỗi cấp học? LỜI GIẢI. Gọi ,xy (học sinh) lần lượt là số học sinh Tiểu học và Trung học cơ sở tham gia Kỳ thi Violympic cấp tỉnh của huyện A0,0xy Vì ban đầu Phòng giáo dục và Đào tạo huyện A dự kiến chọn 60% học sinh Tiểu học trong nhóm học sinh dự thi nên ta có phương trình: 60%0,40,60 1xxyxy Vì sau khi giảm số học sinh của mỗi cấp đi 30 , số học sinh tiểu học chiếmm 62% nên ta có phương trình:
363062%600,380,62#2 5xxyxy  Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 0,40,60 36 0,380,62 5 xy xy       GiảI hệ phương trình ta được: 216 144 x y     (t/m) Vậy: số học sinh Tiểu học và Trung học cơ sở tham gia Kỳ thi Violympic cấp tỉnh của huyện A là 216 và 144 Câu 5. (2.0 điểm) Anh Bình cần rút tiền trong thẻ ATM để chi tiêu cá nhân nhưng lại quên mật khẩu đăng nhập tài khoản. Biết rằng mật khẩu là một số chính phương A có bốn chữ số nếu bớt đi mỗi chữ số của số A một đơn vị thì được số mới là số chính phương có bốn chữ số. Em hãy giúp anh Bình tìm lại mật khẩu đã quên LỜI GIẢI. Gọi mật khẩu đăng nhập của anh Bình là *,,,abcdabcdN và ,,,9abcd và 2a ) Theo đề bài ta có: 2abcdx và 21111abcdy Do đó: 22*1111,;32,99xyxyNxy 1.111111.101xyxy Vì 32,99xy nên 1111xy và 1xy Vậy nên không thể xảy ra trường hợp: 1111 1 xy xy     hoặc 1 1111 xy xy     Mặt khác: xyxy (do ,xy là các số nguyên dương) nên chỉ xảy ra trường hợp: 1156 10145 xyx xyy     (nhận) Vậy: mật khẩu đăng nhập của anh Bình là 2563136 Câu 6. (4.0 điểm) Cho hai đường tròn ,OR và ,OR với RR cắt nhau tại hai điểm A và B Trên tia đối của tia AB lấy điểm C . Qua điểm C kẻ cách tiếp tuyến ,CDCE với đường tròn O , trong đó ,DE là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn O . Các đường thẳng AD , AE cắt đường tròn O lần lượt tại M và (NM và N khác )A . Tia DE cắt đoạn thẳng MN tại I . Chứng minh: a) Các điểm ,,,BNIE cùng nằm trên một đường tròn b) AEMBABMI c) Đường thẳng OI vuông góc với đường thẳng MN