Tiêu đề Chuong 3 - BĐT Chọn đội tuyển dự thi VMO - Năm học 2015 - 2016.doc ✅

Chương ba BĐT CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI VMO Năm học 2015 – 2016 Bài 114 (Hải Phòng). Với ,,abc là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 222222222 1119 2 abcaabcbabcc . Bài 115 (Nghệ An). Với ,,abc là các số thực dương. Chứng minh rằng: 3 222  abcabc bccaabbccaab . Bài 116 (Nam Định). Với ,,,abcd là các số thực dương thỏa mãn 1111 4 abcd . Chứng minh rằng: 33333333333324 2222  abbccdda abcd Bài 117 (Vĩnh Phúc). Với ,,1abc và các số thực ,,xyz sao cho ,,xyzabcbcacab . Chứng minh rằng: 3 2222 xyz xyz  Bài 118 (Phú Thọ). Với ,,abc là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 444 222222 222 9abc abcabc bccaab  . Bài 119 (Tp.Hồ Chí Minh). Với ,,xyz là các số thuộc đoạn 0;1 có tổng bằng 2. Tìm GTNN của biểu thức: 111 111P xyyzzx  . Bài 120 (Yên Bái). Với ,,abc là các số thực dương thỏa mãn 3abbccaabc . Chứng minh rằng: 2221 222 bccaab aacbbaccb  . Bài 121 (Cần Thơ). Với ,,xyz là các số thực dương có tích bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức: 333 222xyz P xyzyzxzxy    . Bài 122 (Quảng Ninh). Với ,,abc là các số thực dương có tích bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:
333 222 111 abc P bca  . Bài 123 (Bình Dương – Ngày 1). Với ,,abc là các số thực dương thỏa mãn 10abbcca Chứng minh rằng: 2222222221230abbccaabc . Bài 124 (KHTN – Ngày 1, vòng 1). Với ,,xyz là các số thực dương. Chứng minh rằng:  333333 222 233233233 3 8 xyzyzxzxy xyzyzyzxzxzxyxy   . Bài 125 (KHTN – Ngày 3, vòng 2). Với ,,xyz là các số thực dương có tổng bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức: 222 454545 xyyzzx P xyyzzx  . Bài 126 (Đăk lăk). Với ,,abc là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2222abcbcacababbcca . Bài 127 (PTNK – TP.HCM). Với ,,abc là các số thực thỏa mãn 2222222222 1,5,14,30aababcabcd . Chứng minh rằng: a) 10abcd . b) 10adbc .
LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Bài 114 (Hải Phòng). Với ,,abc là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 222222222 1119 2 abcaabcbabcc . Lời giải. Theo BĐT Cauchy – Schwarz, ta có: 2 222222 1 2 abc abcaabcabac    222 222 1 22 abcbc ababcacbaca  Áp dụng tương tự cho hai đánh giá còn lại. Ta được: 222222222 111 abcaabcbabcc  39 22 bccaab bacacbabacbc  . Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3abc . Bài 115 (Nghệ An). Với ,,abc là các số thực dương. Chứng minh rằng: 3 222  abcabc bccaabbccaab . Lời giải. Cách 1: Ta chuẩn hóa 3abc . BĐT được viết lại là: 3 333232323 abcabc abcabc  Sử dụng phương pháp tiếp tuyến, ta chứng minh đánh giá sau: 91 36288 aa a aa  Thật vậy, đánh giá tương đương với:  2 9203 6283 aaa aa    . * Nếu 1073 9a  hoặc 1073 3 9a  thì BĐT là hiển nhiên do vế trái âm trong khi vế phải là số dương. * Ngược lại, với 10731073 99a  . BĐT tương đương với:     22 22 22 9203919221 0 62643643 aaaaaa aaa    BĐT cuối đúng nên đánh giá được chứng minh.
Tương tự cho hai đánh giá còn lại, cộng theo vế ta thu được: 333232323 abcabc abcabc  933 88abc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc . Bài toán được giải quyết. Cách 2: Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử c là số nhỏ nhất trong 3 số. Khi đó ta sử dụng hai kết quả sau: * Bổ đề 1: 1 2 2 abab bccaabc    . Thật vậy,   2 2( 0 22 ababcabab bccaabcbcacabc    * Bổ đề 2: 2 2 2 abab bccaabc    . Thật vậy, theo BĐT Holder thì 3  2 3 22ab abcbcaab bcca      mà 322222 0 422 abcababcab abcbca  Nên ta được:   23 22 abab bccaabcbca       3 32 2 42 abab abcabcab     Bổ đề được chứng minh. Như vậy, ta cần chứng minh:   22 3 222 ababcc abcababcab     22 3 222 11 cc ccabab abab     Ta đặt 1 0 2 c t ab  , BĐT được viết lại là: 1 Với bổ đề này ta không cần giả thiết c là số nhỏ nhất trong 3 số. 2 Bổ đề có nhiều khai thác rất thú vị có thể tham khảo qua bài viết "Ứng dụng một bổ đề hay trong chứng minh BĐT" – Ngô Trung Hiếu, Cao Minh Quang – THTT 469. 3 Võ Quốc Bá Cẩn.