Tiêu đề HH12-C2-B3-BIEU THUC TOA DO CUA CAC PHEP TOAN VECTO-HS.pdf ✅

1 Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán MỤC LỤC § ➌. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ .............................................................. 2 A. Tóm tắt kiến thức ................................................................................................................................... 2 B. Phân dạng toán........................................................................................................................................ 3 ⬩Dạng ❶: Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vectơ, tích của một số với một vectơ ............................ 3 ⬩Dạng ❷: Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm của tam giác .................................... 4 ⬩Dạng ❸: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng......................................................................................... 6 ⬩Dạng ❹: Ứng dụng thực tế ...................................................................................................................... 7 C. Rèn luyện tự luận.................................................................................................................................. 10 D. Rèn luyện trắc nghiệm.......................................................................................................................... 15
2 Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán § ➌. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ A. Tóm tắt kiến thức ➊. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTO, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚl MỘT VECTƠ ➋. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a = (x; y; z) và b = (x ′ ; y ′ ; z ′ ). Ta có: a + b = (x + x ′ ; y + y ′ ; z + z ′); a − b = (x − x ′ ; y − y ′ ; z − z ′ ); ka = (kx; ky; kz) với k là một số thực. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(xA; yA; zA ), B(xB; yB; zB) và C(xC; yC; zC ). Khi đó: Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB là xA:xB 2 ; yA:yB 2 ; zA:zB 2 ; Toạ độ trọng tâm của tam giác ABC là xA:xB:xC 3 ; yA:yB:yC 3 ; zA:zB:zC 3 . Lý thuyết Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a = (x; y; z) và b = (x ′ ; y ′ ; z ′ ) được xác định bởi công thức: a ⋅ b = xx ′ + yy ′ + zz ′ Chú ý: Nếu A(xA; yA; zA ) và B(xB; yB; zB) thì AB = |AB | = (xB − xA ) 2 + (yB − yA ) 2 + (zB − zA ) 2. Đặc biệt, khi B trùng O ta nhận được công thức OA = xA 2 + yA 2 + zA 2 . Lý thuyết
3 Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán B. Phân dạng toán ⬩Dạng ❶: Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vectơ, tích của một số với một vectơ Ví dụ minh họa: Lời giải a) Vì = ( ; ; ) và = ( ; ; ) nên − = ( − ; − ; − ) = ( ; − ; ). b) Ta có = ( ⋅ ; ⋅ ; ⋅ ) = ( ; ; ) và = ( ⋅ ; ⋅ ; ⋅ ) = ( ; ; ).  Do đó + = ( + ; + ; + ) = ( ; ; ). Lời giải a) Ta có: = ( ; − ; ), − = (− ; ; − ), = ( ; ; − ).  Suy ra = − + = (− ; ; − ). b) Ta có = ( ; − ; ) = , suy ra hai vectơ , cùng phương.  Do 3 2 ;2 nên , không cùng phương. Tương tự, hai vectơ , không cùng phương. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a = ( ; ; ) và b = ( ; ; ). Tìm toạ độ của mỗi vectơ sau: a) a − b ; b) a + b . ▶Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ p = ( ; − ; ), q = ( ; − ; ), r = ( ; ; − ). a) Tìm tọa độ của vectơ c = p − q + r . b) Tìm hai vectơ cùng phương trong các vectơ đã cho. ▶Ví dụ 2
4 Chuyên đề dạy thêm, học thêm Toán Lời giải  Ta có: a) = ( ⋅ (− ); ⋅ ; ⋅ ). Vậy = (− ; ; ). b) Ta có = (− ; ; ) và = ( ; ; − ). Do đó, − = (− − ; − ; − (− )). Vậy − = (− ; ; ). c) Do = (− ; ; ) và = ( ; ; − ) nên + = ( ; ; ). Ngoài ra, vì − 3 2 = − 3 2 ; − ; − 9 2 nên + − 3 2 = 2 ; ; − 9 2 . ⬩Dạng ❷: Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm của tam giác Ví dụ minh họa Lời giải  Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên toạ độ của điểm là :3 2 ; 2:2 2 ; 3: 2 ,  suy ra ( ; ; ).  Vì là trọng tâm của tam giác nên toạ độ của điểm là :3:2 3 ; 2:2:(; ) 3 ; 3: :5 3 ,  suy ra ( ; ; ). Cho a = (− ; ; ), b = ( ; ; − ), c = ( ; ; ). Tính tọa độ của mỗi vectơ sau: a) a ; b) a − b ; c) a + b − 3 2 c . ▶Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( ; ; ), B( ; ; ) và C( ; − ; ). Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. ▶Ví dụ 1