Tiêu đề Toán 12_Tập 2 C4_Bài 2. Tích phân CTST_bản GV.pdf ✅

1 Bài 2. Tích phân A. Kiến thức cần nhớ 1. Khái niệm tích phân  Cho hàm số f x() liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f x() trên đoạn [a; b] thì hiệu số F b F a ( ) ( ) gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f x() , kí hiệu ( ) b a f x dx . Hiệu số F b F a ( ) ( ) còn được kí hiệu: ( ) ( ) ( ) ( ) b a a f x dx F x F b F a b .  Ta gọi b a là dấu tích phân, a và b là cận tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f x dx ( ) là biểu thức dưới dấu tích phân và f x() là hàm số dưới dấu tích phân.  Ý nghĩa hình học của tích phân Nếu hàm số y f x( ) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì ( ) b a f x dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Tức là: ( ) b a S f x dx Chú ý:  Nếu hàm số f(x) có đạo hàm f '(x) và f'(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì ( ) ( ) ( ) b a f b f a f x dx  Ta đã biết rằng, đạo hàm của quãng đường di chuyển theo thời gian bằng tốc độ của chuyển động tại mỗi thời điểm (v(t)=s'(t)). Do đó, nếu biết tốc độ v(t) tại mọi thời điểm t = [a; b] thì tính được quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian từ a đến b theo công thức: ( ) ( ) ( ) b a s s b s a v t dt Lưu ý: Tốc độ chuyển động v(t) luôn nhận giá trị không âm.  Nhận xét: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó 1 ( ) b a f x dx b a được gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. 2. Tính chất tích phân i. ; ( ) 0 b a a a b a f x dx f x dx f x dx ii. b b a a kf x dx k f x dx , k là hằng số. iii. b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx iv. b c b a a c f x dx f x dx f x dx v. b b a a f x dx f t dt
2 B. Các dạng bài tập & phương pháp giải Dạng 1. Tính tích phân Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: a) 3 2 6xdx b) 1 0 2 3 x dx c) 1 0 2 3 x dx d) 1 2 0 x x dx e) 1 3 2 0 4 3 2 x x dx f) 4 1 1 2 dx x g) 3 2 1 x dx h) 1 2 e dx x i) 0 cosudu j) 2 0 2cosxdx k) 0 4 sin 3 xdx l) 4 0 sin cos x x dx m) 4 0 3sin 2cos x x dx n) 4 2 2 6 1 1 sin os dx x c x o) 3 2 2 6 2 3 sin os dx x c x p) 1 0 x e dx q) 2 0 t e dt r) 2 0 2 x dx s) 1 0 3 x dx t) 1 0 3.2x x e dx u) 1 0 2.3 5 x x e dx v) 1 1 x dx w) 3 1 x dx 2 x) 2 2 0 x x dx 2 3 Ví dụ 2. Hoàn thành các yêu cầu sau: a) Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số 3 f x x x ( ) 4 4 5 thỏa mãn F(1) 3. Tính F(2). b) Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x f x e thỏa mãn 3 (0) 2 F . Tính F(ln2). Ví dụ 3. Hoàn thành các yêu cầu sau: a) Cho   2 1   4 2 1 f x x dx     . Tính   2 1 f x dx  . b) Cho   1 0 f x dx 1  . Tính tích phân     1 2 0 2 3 f x x dx   . c) Cho hàm số f x  liên tục trên và   4 0 f x xd 10   ,   4 3 f x xd 4   . Tính tích phân   3 0 f x xd  . d) Cho 1 0 f x xd 3 và 2 1 f x xd 2 . Tính 2 0 f x xd . Ví dụ 4. Sử dụng máy tính cầm tay, tính các yêu cầu dưới đây (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) a) Cho F x  là một nguyên hàm của   1 1   f x x trên khoảng 1; thỏa mãn F 2 1   . Tìm F e  . b) Cho F x  là một nguyên hàm của hàm   1 2 1 f x x   ; biết F0 2   . Tính F 1.
3 Dạng 2. Một số bài toán thực tế liên quan Ví dụ 5. Một vật chuyển động với phương trình vận tốc là v t t     3 2 m s/  . Biết tại thời điểm t  2 (giây) thì vật đi được quãng đường là 10m . Hỏi tại thời điểm t  30 (giây) vật đi được quãng đường bao nhiêu? Lời giải tham khảo Ta có quãng đường vật đi được từ thời điểm t  2 tới t  30 là:       30 2 S t dt S S     3 2 30 2     S S 30 2 1400        S S m 30 1400 2 1410    . Ví dụ 6. Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20m/s thì hãm phanh nên tốc độ (m/s) của xe thay đổi theo thời gian t (giây) được tính theo công thức: v t t t ( ) 20 5 , (0 4). a) Kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu? b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian đó. Lời giải tham khảo a) 4 4 0 0 s v t dt t dt m ( ) 20 5 40 ( ) b) 4 0 1 1 ( ) 20 5 10 ( / ) 4 0 b tb a v v t dt t dt m s b a Ví dụ 7. Tại một nhà máy, gọi C(x) là tổng chi phí (tỉnh theo triệu đồng) để sản xuất x tấn sản phẩm A trong một tháng. Khi đó, đạo hàm C'(x), gọi là chi phi cận biên, cho biết tốc độ gia tăng tổng chi phí theo lượng gia tăng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức: 2 C x x x ( ) 5 0,06 0,00072 với 0 150 x . Biết rằng C(0) = 30 triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng. Lời giải tham khảo Ta có: 100 100 2 0 0 C C C x dx x x dx (100) (0) ( ) 5 0,06 0,00072 440 Suy ra C(100) = C(0) + 440 = 30 + 440 = 470 (triệu đồng). Vậy khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng thì tổng chi phi là 470 triệu đồng.
4 C. Bài tập tự luận rèn luyện Dạng 1. Tính tích phân Bài 1. Tính các tích phân sau: a) 3 1 2xdx b) 1 2 0 3 2 x dx c) 1 0 2 3 x dx d) 1 2 0 x x dx 2 e) 0 3 2 1 4 3 2 x x dx f) 9 1 1 2 dx x g) 3 3 1 x dx h) 1 4 e dx x i) 2 0 cosudu j) 2 0 3cosxdx k) 0 2 sin 3 xdx l) 4 0 2sin cos x x dx m) 4 0 sin 2cos x x dx n) 4 2 2 6 1 2 sin os dx x c x o) 3 2 2 6 2 5 sin os dx x c x p) ln2 0 x e dx q) ln5 0 t e dt r) 2 1 0 2 x dx s) 1 0 7 x dx t) 1 0 3.5x x e dx u) 1 0 2.2 5 x x e dx Bài 2. Tính các tích phân sau: a) 1 6 3 2 0 x x x dx 4 3 b) 2 4 1 1 dx x c) 4 1 1 dx x x d) 3 2 2 1 dx x e) 5 7 sin xdx f) 1 0 3 2 x dx g) 2 0 4sin 3cos x x dx h) 2 2 4 cot xdx i) 4 2 0 tan xdx j) 0 1 x e dx k) 1 2 2 x e dx l) 1 0 3.4 5 x x e dx m) 1 3 1 x dx 2 n) 2 2 1 2 dx x o) 4 2 1 x xdx p) 0 3 2 1 2 x dx q) 2 1 0 2 .3x x dx r) 1 0 7 11 x x dx s) 4 2 0 x dx 4 t) 2 2 sinx dx u) 0 cos x dx