Tiêu đề 47. ( CHUYÊN ) TOÁN TIN - SƠN LA.Image.Marked.pdf ✅

SỞ GD&ĐT SƠN LA KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN (Bài thi Chuyên Toán, Tin) Ngày thi: 07/06/2023 (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề) Câu 1. (1,0 điểm) Cho biểu thức Q = 1     x y x y x y xy , với x  0; y  0 . a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tính giá trị biểu thức Q khi x  2024  2 2023; y  2024  2 2023 Câu 2. (1,0 điểm) Cho parabol (P) : 2 y  x và đường thẳng (d): y  2m  3 x  3m  5 (m là tham số) a) Xác định giá trị của m để đường thẳng d  đi qua điểm A2;3 . b) Tìm m để đường thẳng d  tiếp xúc với parabol P. Câu 3. (1,0 điểm) Hai đội thanh niên tình nguyện cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 6 giờ. Nếu hai đội làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn thời gian hoàn thành công việc của đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu? Câu 4. (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 x  2mx  m  m 1 có hai nghiệm 1 2 x , x thỏa mãn 2 2 2 1 1 x  x  4mx  16 Câu 5. (1,0 điểm) Giải phương trình: 2 2 x  4x  x  4x  5  7. Câu 6. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1            x xy y x y x x y x y Câu 7. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi S là giao điểm của đường thẳng BC và EF; I là giao điểm của SA và đường tròn (O) (với I khác A). a) Chứng minh rằng tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh SF.SE  SI.SA và HI  SA . c) Gọi M là trung điểm của BC, kẻ đường kính AD của (O). Chứng minh ba điểm H, M, D thẳng hàng và H là trực tâm tam giác ASM. d) Giả sử T là điểm nằm trên đoạn thẳng HC sao cho AT vuông góc với BT. Chứng minh hai đường tròn ngoại tiếp của tam giác IST và tam giác ECT tiếp xúc với nhau. Câu 8. (0,5 điểm) Cho x, y,z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 1 .         x y z xyz x y z ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (1,0 điểm) Cho biểu thức Q = 1     x y x y x y xy , với x  0; y  0 . a) Rút gọn biểu thức Q. Q =     1 1 1          xy x y x y x y xy xy xy x  y b) Tính giá trị biểu thức Q khi x  2024  2 2023; y  2024  2 2023   2 x  2024  2 2023  2023  2 2023 1  2023 1   2 y  2024  2 2023  2023  2 2023 1  2023 1 Khi x, y nhận các giá trị trên, ta có: Q =     2 2 2023 1  2023 1  2023 1 2023 1  2 Câu 2. (1,0 điểm) Cho parabol (P) : 2 y  x và đường thẳng (d): y  2m  3 x  3m  5(m là tham số) a) Xác định giá trị của m để đường thẳng d  đi qua điểm A2;3. d  : y  2m  3 x  3m  5 đi qua A2;3  Ad   2m  3.2  3m  5  3  4m  6  3m  5  3  0  m  2  m  2 . b) Tìm m để đường thẳng d  tiếp xúc với parabol P. Xét phương trình hoành độ giao điểm của P và d :     2 2 x  2m  3 x  3m  5  x  2m  3 x  3m  5  0 (*) d  tiếp xúc với P  phương trình (*) có nghiệm kép    0     2 2   2  3   4 3  5  0  4 12  9 12  20  0  m  m m m m 2 2 11 11 4 11 4 2  m   m   m   Câu 3. (1,0 điểm) Hai đội thanh niên tình nguyện cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 6 giờ. Nếu hai đội làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn thời gian hoàn thành công việc của đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu? Gọi x (giờ) là thời gian đội thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc.
Gọi y (giờ) là thời gian đội thứ hai làm riêng hoàn thành công việc. (x  y  6) + Mỗi giờ đội thứ nhất làm được: 1 x công việc + Mội giờ đội thứ hai làm được: 1 y công việc + Hai đội cùng làm sau 6 giờ thì xong nên mỗi giờ hai đội cùng làm được 1 6 công việc. Ta có phương trình: 1 1 1 6   x y (1) + Nếu hai đội làm riêng, thời gian hoàn thành của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất 5 giờ nên ta có phương trình: x  y  5 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 1 1 1 1 6 5 6 5 5                     x y x x x y x y     2 6 5 6 5 17 30 0 5 5                      x x x x x x y x y x     15 2 5           x tm x loai y x   15 10       x tm y Kết luận: Vậy nếu làm riêng đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 15 giờ, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 10 giờ. Câu 4. (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 x  2mx  m  m 1 có hai nghiệm 1 2 x , x thỏa mãn 2 2 2 1 1 x  x  4mx  16 + Phương trình có 2 nghiệm   2 2 1 2 x , x  '  0  m  m  m 1  0  m 1  0  m  1. + Theo hệ thức Vi-ét: 1 2 2 1 2 2 1         x x m x x m m + Ta có:   2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 x  x  4mx  16  x  x  2 x  x .x  16 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2  x  x  2x  2x x  16  x  x  2x x  16   2 1 2 1 2 1 2 4 2 4 16 4 2 4                    x x m x x x x m
    2 2        m nhan m loai Kết luận: Vậy m  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 5. (1,0 điểm) Giải phương trình: 2 2 x  4x  x  4x  5  7. ĐK: 2 1 4 5 0 5           x x x x Phương trình đã cho 2 2 x  4x  5  x  4x  5  2  0 Đặt   2 t  x  4x  5, t  0 , ta được phương trình :     2 1 2 0 2           t nhan t t t loai + Với 2 2 t  1 x  4x  5  1 x  4x  6  0 2 10 2 10         x x (thỏa mãn) Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm: x  2  10 . Câu 6. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1            xy x y y x y x x x y Ta có:     2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2             x xy y x y x x y x y (1)   2 2  x  y 1 x  2y  2y  0   2 2 2 2   y  2y 1 8y  8y  9y  6y 1  3y 1 Phương trình (1) 1 3 1 1 2 1 3 1 2 2                 y y x y y y x y +Với x  y 1 thế vào (2) ta được:     2 3 2 2 3 3 2 2 2 x  2x x 1  x  x 1 1 x  2x  2x  x  x  2x 11   3 2 2 0 1 3 4 2 0 3 4 2 0                x y x x x x x vônghiem + Với x  2y thế vào (2) ta được:   2 3 2 2 2 5 5 8 2 2 . 4 1 5 1 2 5 5                     y y y y y y y x