Tiêu đề Chuyên đề 22. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.doc ✅

Chuyên đề 22. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A. Kiến thức cần nhớ Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Để giải phương trình vô tỉ, ta thường làm như sau: + Đặt điều kiện cho ẩn + Bình phương hai vế khi hai vế đều dương. + Đặt ẩn phụ, giải phương trình ẩn mới. + Đánh giá hai vế của phương trình. + Sau khi tìm được nghiệm cần kiểm tra lại điều kiện của nghiệm, chọn thích hợp. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: 224x10x95.2x5x3 (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Quảng Trị năm học 2012 - 2013) Giải Tìm cách giải. Quan sát đề bài, chúng ta nhận thấy bài toán có dạng: a.fxbfxc0 . Do đó nên đặt: fxy . Giải phương trình ẩn y. Trình bày lời giải Đặt 22x5x3yy0 , suy ra 222x5x3y . Phương trình có dạng: 222y35y2y5y30 . Giải ra ta được:  12 3 y1;y 2 .  Với y = 1 thì 222 12 1 2x5x312x5x312x5x20x2;x 2  Với 3 y 2 thì  222 34 393519519 2x5x32x5x32x5x0x;x 24444 Vậy tập nghiệm của phương trình là :       519519 ;S2 44 1 ;; 2 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a) 222x3x6x3x70 b) 8x35x35 c) 2222xxxxx1xxxxx1 (Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2007 - 2008) Giải a) Đặt 2yx3x , phương trình đã cho trở thành 2y6y70 . Giải ra ta được:  12y1;y7 . - Với y = -1 ta có 2x3x1 giải ra ta được   12 3535 x;x 22 - Với y = 7 ta có 2x3x7 giải ra ta được   34 337337 x;x 22 Vậy tập nghiệm của phương trình là :       3535337337 ; 2222S;; b) Điều kiện 3x28 .
Đặt yx3y0 phương trình đã cho trở thành: 8y5y58y28y5y5y25 2(8y)(5y)6y3y40 Giải ra ta được  1y1 (thỏa mãn);  2y=4 (không thỏa mãn) Với y1 ta có: x31x4 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4. Nhận xét: Ngoài cách giải trên, ta có thể chuyển một dấu căn sang vế kia (cô lập căn thức). Sau đó bình phương hai vế. c) Điều kiện 22xx0;xx0;x10 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có: 2222xx1xx1xx.1xx.1x1 22   22xxxxx1 Dấu bằng xảy ra khi    22 22 xx1xx10 xx1xx10 Hệ trên vô nghiệm nên dấu bằng không xảy ra. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3. Giải phương trình: 2xx55 (Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học 2007- 2008) Giải Tìm cách giải. Quan sát phương trình ta có thể tiếp cận cách giải theo các hướng sau: - Hướng 1. Quan sát nếu nâng lên lũy thừa để khử căn thì được phương trình bậc bốn, nên nếu có nghiệm thì hoàn toàn giải được bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử. - Hướng 2. Bài toán có dạng 2 xmxm nên có thể đưa về 22 11 xxm 22     . Từ đó giải tiếp được phương trình đơn giản. - Hướng 3. Bài toán có dạng 2xmxm nên có thể chuyển về giải hệ phương trình đối xứng, bằng cách đặt xmy ta được hệ phương trình: 2 2 xmy ymx      Trình bày lời giải Cách 1. Ta có: 2 x5x5 có điều kiện     2 x505x5 x50x5 Bình phương hai vế ta được: 42x10x25x5 42432322x10xx200xx4xxx4x5x5x200 22xx4xx50 . Giải phương trình: 2 xx40 ta được 12 117117 x;x 22   Giải phương trình: 2 xx50 ta được 34 121121 x;x 22   Kết hợp với tập xác định ta được, nghiệm của phương trình là: 121117 S; 22       
Cách 2. Xét 2211 xx55xxx5x5 44   22 11 xx51 1122 xx5 2211 xx52 22           - Giải phương trình (1): xx5 đk x0 Suy ra 22 xx5xx50 ta được 12 121121 x;x 22   - Giải phương trình (2): 11 xx5x5x1 22 với điều kiện 225x5x5x2x1xx40 Giải ra ta được: 3 117 x 2   (thỏa mãn), 4 117 x 2   (loại). Kết hợp với tập xác định ta được, nghiệm của phương trình là: 121117 S; 22        Cách 3. Đặt 2x5y y0x5y Kết hợp với phương trình đề bài ta có hệ phương trình 2 2 xy5(3) yx5(4)    Từ phương trình (3) và (4) vế trừ vế ta được: 22xyyxxyxy10 • Trường hợp 1. Xét x = y, thay vào phương trình (3) ta được: 22 xx5xx50 . Giải ra ta được 12 121121 x;x 22   • Trường hợp 2. Xét xy10yx1 thay vào phương trình (3) ta được: 22 xx15xx40 . Giải ra ta được: 3 117 x 2   (thỏa mãn), 4 117 x 2   (loại). Kết hợp với điều kiện ta được, nghiệm của phương trình là: 121117 S; 22        Ví dụ 4. Giải phương trình: 2xx12x136 . Giải Điều kiện x1 . Cách 1. Đặt t x1 t0 phương trình có dạng: 2 xt12t360 x = 0, không phải là nghiệm của phương trình nên x0 . Giải phương trình ẩn t, ta được: 12 66x166x1 t;t xx   • Trường hợp 1. 66x1ttx66tx6t6 x (loại) vì x60,t0 .
• Trường hợp 2. 66x166 ttx66ttx1 x6x6x    , bình phương hai vế ta được: 2 36 x1 3612xx  với 322x6x11x24x0x11x240 , vì 1x0x3 (thỏa mãn), 2x8 (loại) Vậy tập nghiệm của phương trình là S3 . Cách 2. 2222x1x112x136x1x16x x1x16 x16x1      • Trường hợp 1. 22x1x16x7x1x14x49x1x13x480 vô nghiệm. • Trường hợp 2. 2x16x1x1 5xx12510xx với điều kiện x5 . 2 x11x240 . Giải ra ta được x = 3 (thỏa mãn), x = 8 (không thỏa mãn). Vậv tập nghiệm của phương trình là S3 . Ví dụ 5. Giải phương trình: 2x2x22x1 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2009 - 2010) Giải Tìm cách giải. Quan sát đặc điểm của phương trình, ta thấy có hai hướng suy nghĩ: • Cách 1. Vì vế phải xuất hiện dạng: 2fx còn vế trái xuất hiện 2 x , nên tìm cách đưa về hằng đẳng thức: 22xafxb . Sau đó giải tiếp. • Cách 2. Đưa về hệ phương trình đối xứng loại hai. Trình bày lời giải Cách 1. 22 x2x22x1x2x22x1 . Điều kiện 1 x 2 .    2 22x2x11(1) x2x122x11x2x11 x2x11(2) • Giải phương trình (1): x2x11 x12x1 Điều kiện x1 22x12x1x4x20 . Giải ra ta được: 1x22 (thỏa mãn) 2x22 (loại). • Giải phương trình (2): x2x11 vì 1 x 2 và 2x110 nên phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x22 Cách 2. Điều kiện x2 Đặt 2x1y1 điều kiện y1 . 22x1y2y1 kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ phương trình  2 22 2 2x1y2y x2 1 x2y1x2x2y2 y2y2x2       Vế trừ vế ta được     22xy xy0 xy