Tiêu đề Chuyên đề 9. TOÁN CỔ, TOÁN NÂNG CAO..pdf ✅

TOÁN CỔ, TOÁN NÂNG CAO. A. TOÁN CỔ  Bài 1: Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó? Hướng dẫn giải Gọi x (con) là số con gà. Điều kiện: * x x   , 36 . Khi đó số chân gà là 2x . Vì cả gà và chó là 36 con nên số con chó là 36  x và số chân chó là 4. 36   x. Tổng số chân là 100 nên ta có phương trình : 2 4. 36 100 2 144 4 100 22 x x x x x            (nhận). Vậy số con gà là 22 con và số con chó là 36 22 14   con.  Bài 2: (Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Diophantos) Thời thơ ấu của Đi-ô-phăng chiếm 1 6 cuộc đời. 1 12 cuộc đời tiếp theo là thời thanh niên sôi nổi. Thêm 1 7 cuộc đời nữa ông sống độc thân. Sau khi lập gia đình được 5 thì sinh một con trai. Nhưng số mệnh chỉ cho con sống bằng nửa đời cha. Ông đã từ trần 4 năm sau khi con mất. Đi-ô-phăng sống bao nhiêu tuổi, hãy tính cho ra Hướng dẫn giải Gọi tuổi thọ của Đi-ô-phăng là x (tuổi). Điều kiện : * x . Số tuổi thời thơ ấu: 6 x (tuổi). Số tuổi thời thanh niên: 12 x (tuổi). Số tuổi sống độc thân: 7 x (tuổi). Số tuổi của con ông: 2 x (tuổi). Theo đề bài ta có phương trình: 3 5 4 9 84 6 12 7 2 28 x x x x           x x x (nhận). Vậy ông sống đến năm 84 (tuổi).  Bài 3: - Thưa Py-ta-go lỗi lạc, lớp của người có bao nhiêu môn đệ? Nhà hiền triết trả lời: - Hiện nay, một nửa đang học Toán, một phần tư đang học Nhạc, một phần bảy đang ngồi yên suy nghĩ. Ngoài ra còn có phụ nữ. Hỏi lớp học của Py-ta-go có bao nhiêu người? Hướng dẫn giải Gọi x (người) là số người học trong lớp học của Py-ta-go ( x nguyên dương).
Số người đang học toán: 2 x (người). Số người đang học nhạc: 4 x (người). Số người đang suy nghĩ: 7 x (người). Theo giả thiết ta có phương trình: 3 3 3 28 2 4 7 28 xxx         x x x (nhận). Vậy lớp học của Py-ta-go là 28 (người).  Bài 4: Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui. Chia ba mỗi quả quýt rồi Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh. Trăm người, trăm miếng ngọt lành Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao? Hướng dẫn giải Giả sử cả 17 quả đều là cam. Khi đó ta chia được: 17.10 170  (miếng) và hơn số miếng đầu bài cho là: 170 100 70   (miếng). Mỗi quả cam bổ ra hơn số quả quýt bổ ra là: 10 3 7   (miếng). Suy ra số quả quýt là: 70 : 7 10  (quả). Số quả cam là: 17 10 7   (quả) Cách khác: Gọi x (quả), y (quả) lần lượt là số quả quýt và số quả cam. Điều kiện: 0 , 17, ,     x y x y . Theo đề bài ta có hệ phương trình: 17 3 10 100 x y x y        . Giải hệ phương trình, ta được: 10 7 x y      (nhận). Vậy, có 10 quả quýt và 7 quả cam.  Bài 5: Bài toán Ấn Độ Một đàn khỉ chia thành hai nhóm. Nhóm chơi đùa vui vẻ ngoài trời Bằng bình phương một phần tám của đàn. Mười hai con nhảy nhót trên cây. Không khí tươi vui sưởi ấm nơi này. Hỏi có tất cả bao nhiêu con khỉ? Hướng dẫn giải Gọi số khỉ của đàn là x (con). Điều kiện: * x x  , 8 . Nhóm khỉ chơi đùa ngoài trời có: 2 8   x     (con). Theo đề bài ta có phương trình: 2 2 12 64 768 0. 8 x x x x             Giải phương trình ta được: x  48 (nhận) hay x  16 (nhận) Vậy số khi trong cả đàn là 48 con hoặc 16 con.
 Bài 6: Bài toán của Ơ-le Hai nông dân đem 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau, nhưng hai người bán được một tiền bằng nhau. Mộ người nói với người kia: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng”. Người kia nói: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi chỉ bán được 2 6 3 đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu trứng? Hướng dẫn giải Gọi số trứng của người thứ nhất là x (quả). Điều kiện: * x x   , 100 . Suy ra số trứng của người thứ hai là 100  x (quả). Giá tiền một quả trứng của người thứ nhất là 15 100  x (đồng). Giá tiền một quả trứng của người thứ hai là 20 3x (đồng). Số tiền thu được của người thứ nhất là 15 100 x  x (đồng). Số tiền thu được của người thứ hai là 20 100   3 x x  (đồng). Do đó ta có phương trình: 15 20 100   100 3 x x x x    . Giải phương trình ta được x  200 (loại) hay x  40 (nhận). Vậy số trứng của người thứ nhất là 40 quả và số trứng của người thứ hai là 60 quả.  Bài 7: Một bà nông dân mang hai giỏ trứng ra chợ bán, mỗi giỏ có 30 trứng. Trong giỏ trứng bé, bà dự định sẽ bán với giá 1 đồng được 3 quả. Giỏ trứng to bà sẽ bán 1 đồng 2 quả. Tuy nhiên khi ở chợ bà thay đổi ý định, bà để trứng lẫn lộn và bán với giá 2 đồng được 5 quả. Như thế có lợi cho bà so với ý định ban đầu không? Hướng dẫn giải Dự định : + Giỏ trứng bé bà sẽ bán được: 30 : 3 10  (đồng). + Giỏ trứng to bà sẽ bán được: 30 : 2 10  (đồng). Thực tế: + Số tiền một quả trứng là: 2:5 0,4  (đồng). + Số tiền bà thu về là: 30 30 .0,4 24    (đồng). Vậy không có lợ cho bà so với ý định ban đầu.  Bài 8: Hai người bạn trung niên gặp nhau. Một người hỏi bạn mình: “Các con của anh bao nhiêu tuổi?” Người thứ hai trả lời: “Tôi có hai đứa con trai: tuổi tôi gấp 4 lần tuổi đứa con thứ nhất và gấp 7 lần đứa thứ hai”. Hỏi ông bố bao nhiêu tuổi và các con của ông bao nhiêu tuổi? Hướng dẫn giải Gọi số tuổi của người bố là x . Điều kiện: * x . Tuổi người bố gấp 4 lần tuổi người con thứ nhất và gấp 7 lần tuổi của người con thứ hai nên: x x x BC 4, 7 4; 7    . Ta có BCNN BC B 4;7 28 4; 7 8 0; 28; 56; 84; ...           . Vì ông bố là người trung niên nên có độ tuổi từ 45 đến 65 tuổi. Vậy ông bố 56 tuổi và tuổi các con lần lượt là 8 tuổi và 14 tuổi.  Bài 9: Cô Lan có 4 con gà mái. Cô nhận thấy rằng 1 con gà cách 1 ngày đẻ 1 trứng, con thứ 2 cách 3 ngày đẻ 1 trứng, con thứ 3 cách 4 ngày đẻ 1 trứng, và con thứ 4 cách 7 ngày để 1 trứng. Một lần cô Lan lấy trong chuồng được 4 quả trứng và khoe với bà hàng xóm. Bà ta chúc mừng cô và hỏi: Số ngày
ngắn nhất là mấy ngày (kể từ bây giờ) để cô có thể lấy được 4 trứng nữa? Bạn hãy giúp cô Lan. Biết rằng ngày nào cô Lan cũng ra nhặt trứng trong chuồng. Hướng dẫn giải Gọi số ngày ngắn nhất cần tìm là x . Điều kiện: * x . Theo yêu cầu bài toán ta có: x x x x 2, 4, 5, 8 và x nhỏ nhất nên x BCNN   2,4,5,8 40  (nhận). Vậy sau 40 ngày thì cô Lan có thể lấy được 4 trứng cùng lúc một lần nữa.  Bài 10: Một cô gái mang ra chợ hai giỏ trứng. Bất chợt một chú bé xô vào người, hai giỏ trứng rơi, trứng vỡ. Chú bé xin lỗi cô và hỏi cô có tất cả bao nhiêu trứng để chủ đền tiền, cô gái trả lời: "Chị không đếm nhưng khi xếp vào giỏ theo 2 quả một lần, 3 quả một lần, 4 quả một lần, 5 quả một lần, 6 quả một lần thì lần nào cũng dư ra 6 quả. Còn khi xếp theo 7 quả thì không dư quả nào. Hỏi trong hai giỏ có bao nhiêu quả trứng biết rằng số trứng nằm trong khoảng 300 đến 400 ? Hướng dẫn giải Gọi số trứng trong hai giỏ là x . Điều kiện: * x , 300 400  x . Khi xếp vào giỏ 2 quả một lần, 3 quả một lần, 4 quả một lần, 5 quả một lần, 6 quả một lần thì lần nào cũng dư ra 6 nên ta có:     1 2 1 3 1 4 1 3;4;5;6 1 5 1 6 x x x x BC x x                 Ta có BCNN BC B 3;4;5;6 60 3;4;5;6 60        . B60 0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420;...   .  x 1; 61; 121; 181; 241; 301; 361; 421; .... Mà x 7 và 300 400  x nên chọn x  301. Vậy số trứng trong hai giỏ có là 301. B. TOÁN NÂNG CAO  Bài 1: (Chuyên Toán An Giang – 2022 – 2023) Một nông dân thu hoạch 100 trái dưa lưới có khối lượng trung bình là 1,5kg . Trong 100 trái này có các trái dưa lưới nặng hơn 1,5kg có khối lượng trung bình là 1,73kg , các trái dưa lưới nhẹ hơn 1,5kg có khối lượng trung bình là 1,33kg và các trái dưa lưới nặng đúng 1,5kg . a) Tìm biểu thức liên hệ giữa số trái dưa lưới theo khối lượng của chúng b) Có ít nhất bao nhiêu trái dưa lưới nặng đúng 1,5kg ? Hướng dẫn giải a) Gọi x y z , , lần lượt là số quả dưa nặng hơn 1,5kg ; bằng 1,5kg và nhẹ hơn 1,5kg (trong đó x y z , , là các số nguyên dương). Khi đó ta có 1,73 1,5 1,33 1,5.100 150 1 x y z       b) Theo cách gọi ở câu a, ta có: x y z x y z        100 1,5 1,5 1,5 150 2  Từ (1) và (2) 17 0, 23 0,17 0 23      x z x z Vì UCLN17,23 1   nên đặt z k k x k     23 * 17  