Tiêu đề 12. ( CHUYÊN ) LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG.Image.Marked.pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2023-2024 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Dành cho thí sinh vào Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn) Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức x y x x xy P : x y y xy y xy x              và biểu thức   x x y y x y y x Q 2 x y      với x  0, y  0 và x  y . Rút gọn các biểu thức P, Q và chứng minh rằng với các số x, y dương phân biệt tuỳ ý thì 4Q+1 > 2P. Bài 2. (1,5 điểm) Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, cho parabol   2 P : y  x và đường thẳng d : y  kx  5. Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B. Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục Ox. a) Khi k = -4, tính diện tích hình thanh ABDC. b) Tìm tất cả các giá trị của k để AD và BC cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính CD. Bài 3. (2,0 điểm) a) Giải phương trình   2 2 10x  3x  2  6x 1 x  2 . b) Giải hệ phương trình        2 2 x y x 2 2 y 1 y 3x 3 x 3 3 8 2                   x y x x x Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, với AB < AC, nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở D. Đường tròn đường kính AD cắt đường tròn đường kính OD tại điểm E (khác D). Gọi F là giao điểm của đoạn thẳng OE và đường tròn (O). a) Chứng minh rằng 3 điểm A, O, E thẳng hàng và CF là tia phân giác của góc BCE. b) Các tia AB, AC lần lượt cắt đường tròn đường kính AD tại các điểm G, K (đều khác A). Chứng minh rằng OD đi qua trung điểm của đoạn thẳng GK. Bài 5. (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC < BC, đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại M. Lấy điểm E nằm giữa A và M. Trên cạnh AC, BC lần lượt lấy điểm D, F sao cho AD = AE và BF = BE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF lần lượt cắt AB và BC tại G (khác E) và H (khác F). Chứng minh rằng (O) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF và các đường thẳng CM, ED, GH đồng quy. Bài 6. (1,5 điểm) a) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:     2 2 2 1 1 1 2008 x y z 15 2023 x y z x y z               . b) Cho phương trình 2 2 3 x  4mn x  4mn  m  0 , với m và n là các tham số. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m; n) để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 1 2 x , x đều là số nguyên và 1 2 x  x 1 là số nguyên tố.
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Cho biểu thức x y x x xy P : x y y xy y xy x              và biểu thức   x x y y x y y x Q 2 x y      với x  0, y  0 và x  y . Rút gọn các biểu thức P, Q và chứng minh rằng với các số x, y dương phân biệt tuỳ ý thì 4Q+1>2P. P  x  y  2P  2 x  2 y 4 1 2  1 2        x y Q Q x y Nhân hai vế của biểu thức 4Q 1 2P cho 2 24Q 1 2P  4x  4y  2  4 x  4 y     2 2  2 x 1  2 y 1 Ta có x  y  24Q 1 2P  0  4Q 1  2P Bài 2. Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, cho parabol   2 P : y  x và đường thẳng d : y  kx  5. Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B. Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục Ox. a) Khi k=-4, tính diện tích hình thanh ABDC. b) Tìm tất cả các giá trị của k để AD và BC cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính CD. a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2 x  4x  5 2  x  4x  5  0 a  b  c  1 4  5  0 x  1, x  5
2 x  1 y  x  1 2 x  5  y  x  2 A5;25và B1;1 Diện tích hình thanh ABDC :  . 25 1.6 78 2 2     AC BD CD (đvdt) b) + Gọi I là giao điểm của AD và BC. Vì I thuộc đường tròn đường kính CD nên:  90  CID  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AD  BC + Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2 x  kx  5 2  x  kx  5  0 c.a  5  0 Do đó hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu. Toạ độ hai giao điểm là A x1 , y1 và B x2 , y2  . + Theo định lí Vi-ét: 1 2 1 2 5        x x k x x + Phương trình đường thẳng AD có dạng: y  ax  b . Ta có:  1  1    D  D  y ax b y ax b 1 1 2 5 0          kx ax b ax b  kx1  5  a x1  x2  (trừ theo vế) + Phương trình đường thẳng BC có dạng: y  ax  b'. Tương tự như trên ta có: kx2  5  a ' x2  x1  Nhân theo vế hai ý vừa có được:      2 1 2 1 2 kx  5 kx  5  a.a. x  x     2 2 1 2 1 2 1 2 1 2  k x x  5k x  x  25  x  x  4x x 2 2 2  5k  5k  25  k  20 2  k  5  k   5 Vậy k   5 Bài 3: a) Giải phương trình:   2 2 10x  3x  2  6x 1 x  2 Cách 1: Bình phương hai vế rồi casio bậc 4. Cách 2: Đặt 2 t  x  2  2 2 t  x  2 (t  0) . Ta được:   2 2 9x  3x  t  6x 1 t    2 2 9x  6xt  t  3x  t  0      2 3x  t  3x  t  0  3x  t3x  t 1  0  3 3 1       x t x t  2 2 3 2 3 1 2         x x x x
     2 2 2 2 9 2 3 0 9 6 1 2 3 1 0             x x x x x x x      2 1 3 0 2 8 6 1 0 3 1 0             x x x x x  1 2 3 17 8        x x Vây 1 3 17 ; 2 8          S b)Giải hệ :            2 2 2 2 1 1 3 3 3 3 8 2 2                   x y x x y x y y x x x x Đk: x  2 Xét phương trình (1):     2 x  y x  2  x y  x  2    2 x x  2  y x  2  xy  x x  2    2 x x  2  xy  x x  2  y x  2  0  x  x x  2  y  x  2  x x  2  y  0    0 2 2 2 0               vì x x x y x x  x x  2  y  0  y  x x  2 Xét phương trình:    2 y 1 y  3x  3  x  3x  3  8 x  2  2 2 y  3xy  4y  3x  3  x  3x  3  8 x  2    2 2 2 x x  2  3x x  2  4x x  2  x  6x  8 x  2  0      3 2 2 x  3x  6x  x  2 3x  4x  8  0      3 2 x  3x x  2  x  2 3x  4x  8  0 Đặt t  x  2 thì 2 t  x  2 và 2 4x  8  4t     3 2 2 2 x  3xt  t 3x  4t  0  3 2 2 3 x  3x t  3xt  4t  0     2 2 x  4t x  tx  t  0 Mà 2 2 2 3 2 0 2 4             t x tx t x t (dấu bằng không xảy ra) Ta được: x  4t  x  4 x  2    2 x  16 x  2  2 x 16x  32  0 x  8  4 2 : nhận x  8  4 2  y  x x  2  8  4 2 . 6  4 2  8  4 2 .2  2   32 16 2 x  8  4 2  y  x x  2  8  4 2 . 6  4 2  8  4 2 .2  2   32 16 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : 8 4 2 32 16 2         x y và 8 4 2 32 16 2        x y Bài 4: Cho ΔABC nhọn, với AB < AC, nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau ở D. Đường tròn đường kính AD cắt đường tròn đường kính OD tại điểm E (khác D). Gọi F là giao điểm của đoạn thẳng OE và đường tròn (O).