Tiêu đề Bài 2_Cấp số cộng_Lời giải.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 11 – CTST– PHIÊN BẢN 25-26 1 BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH NGHĨA a) Nhận biết dãy vô hạn d - Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. - Cấp số cộng un  với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi u u d n n n = + 3 -1 , 2   Chú ý. Để chứng minh un  là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiêp n n 1 u u - - không đổi. 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số cộng un  có số hạng đầu 1 u và công sai d thì số hạng tồng quát n u của nó được xác định theo công thức 1 ( 1) . n u u n d = + - 3. TỔNG CỦA n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG Cho cấp số cộng un  với công sai d . Đặt n n 1 2 S u u u = + +1⁄4+ . Khi đó 1 2 ( 1) . 2 n n S u n d = + - é ù ë û Chú ý. Sử dụng công thức 1 ( 1) n u u n d = + - , ta có thể viết tổng n S dưới dạng  1  . 2 n n n u u S + = B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Nhận dạng 1 dãy số là cấp số cộng 1. Phương pháp Sử dụng định nghĩa un là một cấp số cộng khi và chỉ khi 1 , n n u u d + - = với d là một hằng số. Để chứng minh dãy số un là một cấp số cộng, ta xét n n 1 d u u + = - • Nếu d là hằng số thì un là một cấp số cộng với công sai d. • Nếu d phụ thuộc vào n thì un  không là cấp số cộng. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng. a) Dãy số un  với 2020 2021. n u n = -
BÀI GIẢNG TOÁN 11 – CTST– PHIÊN BẢN 25-26 2 b) Dãy số un  với 2 5. n u n = - + Lời giải a) Dãy số un  với 2020 2021. n u n = - Ta có u u n n n n +1 - = + - - - = 2020 1 2021 2020 2021 2020.     Vậy un là một cấp số cộng với công sai d = 2020. b) Dãy số un  với 2 5. n u n = - + Ta có u u n n n n +1 - = - + + - - + = - 2 1 5 2 5 2.     Vậy un là một cấp số cộng với công sai d = -2. Ví dụ 2. Chứng minh các dãy số sau không phải là cấp số cộng. a) Dãy số un  với 2 1. n u n n = + + b) Dãy số un  với  1 3 .  n n u n = - + Lời giải a) Dãy số un  với 2 1. n u n n = + + Ta có       2 2 1 1 1 1 1 2 2 n n u u n n n n n + - = + + + + - + + = + phụ thuộc vào n. Vậy un  không là cấp số cộng. b) Dãy số un  với  1 3 .  n n u n = - + Ta có             1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 2 1 n n n n n n n u u n n + + é ù - = - + + - - + = - - + - - = - - ê ú ë û phụ thuộc vào n. Vậy un  không là cấp số cộng. Dạng 2. Xác định số hạng , công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng 1. Phương pháp • Xác định một cấp số cộng là xác định số hạng đầu 1 u và công sai d • Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số 1 u và d rồi giải hệ đó. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho cấp số cộng un  có 3 u = 15 và d = -2 . Tìm . n u Lời giải Ta có   3 1 1 1 15 2 19 1 2 21. 2 2 n u u d u u u n d n d d ìï ï = = + ì = í í Û ® = + - = - + ïî = - ïî = - Ví dụ 2: Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu? Lời giải
BÀI GIẢNG TOÁN 11 – CTST– PHIÊN BẢN 25-26 3 Ta có: 1 8 1 5 5 40 7 u d u u d ìï = í 3⁄43⁄4® = ï = = + î Ví dụ 3: Cho cấp số cộng un  có 1 u = 123 và 3 15 u u - = 84 . Tìm số hạng 17 u . Lời giải Ta có công sai của cấp số cộng là 3 15 84 7 3 15 12 u u d - = = = - - - . Suy ra 17 1 u u d = + - = (17 1) 11. Ví dụ 4: Cho cấp số cộng un  có 1 u = 123 và 3 15 u u - = 84 . Tìm số hạng 17 u . Cho cấp số cộng un  có 1 5 u u + = 2 0 và 4 S = 14 . Tính số hạng đầu 1 u và công sai d của cấp số cộng. Lời giải Ta có 1 5 1 1 1 u u u u d u d + = Û + + = Û + = 2 0 2( 4 ) 0 3 8 0 . 1 4 1 4(2 3 ) 14 14 2 3 7 2 u d S u d + = Û = Û + = Ta có hệ phương trình 1 1 1 3 8 0 8 2 3 7 3 u d u u d d ìï ï + = ì = í í Û ï + = ïî = - î . Dạng 3. Tính tổng các số hạng trong một cấp số cộng 1. Phương pháp Tính tổng n số hạng đầu tiên nhờ công thức:   1   1 2 1 2 2 n n n u u n u n d S + é ù + - ë û = = 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho cấp số cộng un  có 1 u = 4 và d = -5. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Lời giải   1 100 1 1 100.99 100 24350 2 2 n n n S nu d S u d - = + 3⁄43⁄4® = + = - Ví dụ 2: Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tính tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên Lời giải Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng   * 3n nÎ¥ nên chúng lập thành cấp số cộng   1 50 1 50 50 3 50 3 3825 150 2 n u u n S u u u ìï = = 3⁄43⁄4® 3⁄43⁄4® = + = í ï = î Chú ý:     1 1 1 . 2 2 n n n n n S u u nu d - = + = + Ví dụ 3: Tính tổng S n n = - + - + + + - - 1 2 3 4 5 ... 2 1 2   với n 3 1 và nÎ¥. Lời giải Với mọi * nÎ¥ thì 2 1 2 1 n n - - = -  .