Tiêu đề BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN 11 - SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM - CHUYÊN ĐỀ 3 - GIỚI HẠN - HÀM SỐ LIÊN TỤC (LÝ THUYẾT, BÀI TẬP TỰ LUẬN, TRẮC NGHIỆM, VỞ BÀI TẬP) (BẢN GV) (283 TRANG).pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 1 Sưu tầm và biên soạn C H Ư Ơ N G III GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I LÝ THUYẾT. = = = I 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ Ta nói rằng dãy số un  có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim 0 n n u   hay lim 0 n u  hay 0 n u  khi n   . Ta nói dãy số vn  có giới hạn hữu hạn là a (hay n v dần tới a ) khi n  , nếu lim 0.  n  n v a    Kí hiệu: lim n n v a   hay n v a  khi n  . Từ định nghĩa ta có các kết quả sau: a) lim 0 lim 0 n n n n u u      ; hay lim 0 0 n  ; b) 1 lim 0 n n  ;   1 * lim 0, 0, k n k k  n    ; 1 lim 0 n n  ; 3 1 lim 0 n n  ; c) lim 0 n n q   nếu q 1 ; d) Cho hai dãy số un  và vn  Nếu n n u v  với mọi n và lim 0 n n v   thì lim 0 n n u   . 2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ a) Nếu lim n u a  và lim n v b  và c là hằng số. Khi đó ta có : limu v a b n n         limu v a b n n  lim .v . u a b n n  lim , 0   n n u a b v b    lim . . c u c a n  . lim n   u a và 3 3 lim n u a  Nếu 0 n u  với mọi n thì a  0 và lim n u a  . b) Cho ba dãy số u v n n ,  và wn . Nếu u v w n n n n   ,  và lim lim , u w a a n n      thì lim n v a  (gọi định lí kẹp). c) Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn. Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn. Kỹ năng sử dụng máy tính

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 3 Sưu tầm và biên soạn Quy tắc tìm giới hạn thương n n u lim v Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích trong bài toán giới hạn vô cực của dãy số. TÓM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT n lim u n lim v Dấu của n v n n u lim v L  Tùy ý 0 L 0  0   0   L 0  0   0   Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1 lim 0 n n  ; 1 lim 0 ( ) k n k n     lim 0 ( 1) n n q q    ; lim n C C   2. Định lí: a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì  lim = a + b  lim = a – b  lim = a.b  lim n nu a v b  b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim n u a  c) Nếu n n u v  ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì lim n u a  3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 + u1q + u1q 2 + ... = 1 1 u q q  1 1. Giới hạn đặc biệt: lim n   ; lim ( ) k n k     lim ( 1) n q q    2. Định lí: a) Nếu lim n u   thì 1 lim 0 n u  b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim n nu v = 0 c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 thì lim n nu v = . 0 . 0 n n neáu a v neáu a v      d) Nếu lim un = +, lim vn = a thì lim = 0 0 neáu a neáu a      * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0 0 ,   ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.