Tiêu đề Chương 4 - BĐT qua các đề thi Olympic - Năm học 2017 - 2018.doc ✅

Chương Bốn BĐT QUA CÁC ĐỀ THI OLYMPIC 3 Năm học 2017 – 2018 3.1 Các kỳ thi Olympic khu vực Bài 237 (Olympic chuyên KHTN). Với ,,abc là các số thực dương. Chứng minh rằng:  222 8 4.abcbcacababc abcbcacababbcca    Bài 238 (Trường đông Toán học – Đà Nẵng). Với ba số thực dương ,,abc có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 9 23.abc abcbca     Bài 239 (Gặp gỡ Toán học – Lớp 11). Cho ba số thực không âm ,,xyz thỏa mãn điều kiện 1.xyyzzx Chứng minh rằng: 16261min,,.xyyzzxxyz Bài 240 (Gặp gỡ Toán học – Lớp 10). Cho ba số thực dương ,,abc thỏa mãn 222 3.abc Chứng minh rằng:  3 . 2 abc baccbaacb  Bài 241 (HSG các trường chuyên khu vực Duyên hải và ĐBBB – Lớp 10). Với ,,abc là ba số thực dương thỏa mãn: 111 2.bccaab abcabbcca     Chứng minh rằng: 22232.abcabbcca Bài 242 (HSG các trường chuyên khu vực Duyên hải và ĐBBB – Lớp 10). Với ,,xyz là ba số thực không âm . Chứng minh rằng: 222 222 333 .. 88333 xyz xyz xyz   Bài 243 (Olympic 30/04 – Khối 10). Với ,,abc là ba số thực không âm thỏa mãn 1abc . Chứng minh rằng: 222 111.aabbccabc 3.2 Các kỳ thi Olympic Quốc gia, Quốc tế Bài 244 (VMO). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đồ thị hàm số 32():.Cyx Một đường thẳng d thay đổi sao cho d luôn cắt ()C tại ba điểm phân biệt, có hoành độ lần lượt là 123,,.xxx a) Chứng minh rằng: 233112 333 222 312 xxxxxx xxx là hằng số. b) Chứng minh rằng: 222 312 333 233112 15 . 4 xxx xxxxxx
Bài 245 (Romania MO). Với x là số thực dương. Chứng minh rằng: 1 221.xx    Bài 246 (USA MO). Với ,,abc là các số thực dương thỏa mãn 34.abcabc Chứng minh rằng: 22222224min,,.abbccaabcabc Bài 247 (India Regional MO). Với ,,xyz là các số thực lớn hơn 1. Chứng minh rằng: 111111 . 111111 xyzxyz yzxyzx    Bài 248 (Moldova TST). Với ,,,abcd là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222 3 . 1112 abc bca  Bài 249 (Moldova TST). Với ,,,abcd là các số thực dương thỏa mãn 1111 3. 1111abcd  Chứng minh rằng: 33334 . 3abcbcddcadab Bài 250 (Caucasus MO). Với ,,abc là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 2 . 2 abc ababacacbcbc  Bài 251 (Iran TST). Với ,,abc là các số thực đôi một khác nhau. Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho BĐT sau luôn đúng: 222 222222 4.abcabc k abbccaabbcca     Bài 252 (Romania National – Grade 9). Với ,,abc là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 111 . 111111 abc bcabca  Bài 253 (Slovenia TST). Với ,,abc là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 222. 3222 abcabc abbcca    Bài 254 (49 th Austrian MO – Regional Competition). Với ,ab là các số thực dương thỏa mãn 2ab . Chứng minh rằng: 22 112 . 111abab  Tìm tất cả các giá trị của ,ab để đẳng thức xảy ra. Bài 255 (49 th Austrian MO – Regional Competition). Với  là số thực dương tùy ý cho trước, ,,xyz là các số thực dương thỏa mãn .xyyzzx Xác định  số C lớn nhất sao cho BĐT sau đây luôn đúng:
2221112.xz C xyzzx     Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 256 (European Mathematical Cup). Với ,,xyz là các số thực thỏa mãn 222 3.xyz Chứng minh rằng: 3222233.xyyzzxyzyz Xác định giá trị của ,,xyz khi đẳng thức xảy ra. Bài 257 (Bulgaria JBMO TST – day 1). Với ,ab là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2222 55 81 918. 24 abab ab ab   Bài 258 (International Zhautykov Olympiad). Với ,, lần lượt là ba góc của tam giác có độ dài ba cạnh là ,,.abc Chứng minh rằng: 2222222222222coscoscos.abc bcacab  Bài 259 (Junior Balkan TST – Moldva). Với ,ab là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222 4916 9.abc bccaab    Bài 260 (St. Petersburg MO). Với ,,,abcd là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2444444.abcdabcdababcd Bài 261 (Serbian JBMO TST). Với ,,abc là các số thực dương. Chứng minh rằng: 3 . 2224 abbcca abcbcacab 
LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN 237 (Olympic chuyên KHTN) Với ,,abc là các số thực dương. Chứng minh rằng:  222 8 4.abcbcacababc abcbcacababbcca    Lời giải. Theo BĐT AM - GM, ta có:     22 22 2 2 22 . . abcabcabcabc abcaabbccaabac abcabac     Tương tự cho 2 số hạng còn lại, ta được:   222 222 8 8 2 abcbcacababc abcbcacababbcca abcbcacababc abacbabccacbabbcca            222 8 2. 248 2. abcbcbcacacabababc abbccaabbcca abbccaabcabc abbccaabbcca        88 4.abcabc abbccaabbcca  Vậy ta cần chứng minh:   88 44 8 1. abcabc abbccaabbcca abc abbcca     BĐT cuối là hiển nhiên theo BĐT AM - GM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .abc Bài toán được chứng minh. 238 (Trường đông Toán học – Đà Nẵng) Với ba số thực dương ,,abc có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 9 23.abc abcbca     Lời giải. (Ban tổ chức) Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là số lớn nhất trong ba số. Trước hết ta biến đổi biểu thức như sau: 9 23abc abcbca         3 222 333 333222222 222333 6927 3 330 1 0. 2 acbacbabcabc abcabbcca abcabcababbccbcaac abcabbccaabbcca     