Tiêu đề Bài 2_Tọa độ vecto và biểu thức tọa độ trong không gian_Đề bài_Toán 12_CD.docx ✅

BÀI 2: TOẠ ĐỘ CỦA VECTO A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. TOẠ DỘ CỦA MỘT DIỂM 1. Hệ trục toạ độ trong không gian Hệ gồm ba trục ,,OxOyOz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz Chú ý: Ta gọi ,,ijk→→→ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục ,,OxOyOz . - Trong hệ toạ độ Oxyz (Hình 19), ta gọi: điểm O là gốc tọa độ; Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao; các mặt phẳng ,,OxyOyzOzx là các mặt phẳng toạ độ. - Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz. Nhận xét: Các mặt phẳng tọa độ ,,OxyOyzOzx đôi một vuông góc với nhau. Ví dụ 1. Một sân tennis với hệ toạ độ Oxyz được chọn như ở Hình 20. a) Hỏi mặt sân nằm trong mặt phẳng toạ độ nào? b) Trục Oz có vuông góc vối mặt sân hay không? 2. Tọa độ của một điểm Nhận xét: Bộ số (4;5;3) gọi là toa độ của điểm M trong không gian với hệ tọa độ .Oxyz Ta có định nghĩa sau (Hình 23):
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M . Xác định hình chiếu 1M của điểm M trên mặt phẳng Oxy . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm hoành độ a , tung độ b của điểm 1M . Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz , điểm P ứng vối số c trên trục Oz . Số c là cao độ của điểm M . Bộ số ;;abc là tọa độ của điểm M trong không gian vợi hệ tọa độ Oxyz , kí hiệu là ;;Mabc . Chú ý - Toạ độ của một điểm M trong không gian vôii hệ toạ độ Oxyz luôn tồn tại và duy nhất. - Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm M theo cách sau (Hình 24 ): Xác định hình chiếu H của điểm M trên trục hoành Ox , điểm H ứng với số a trên trục Ox . Số a là hoành độ của điểm M . Xác định hình chiếu K của điểm M trên trục tung Oy , điểm K ứng vối số b trên trục Oy . Số b là tung độ của điểm M . Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz , điểm P ứng với số c trên trục Oz . Số c là cao độ của điểm M . Khi đó, bộ số ;;abc là tọa độ của điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm 4;5;3A . Gọi 123,,AAA lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng toạ độ ,OxyOyz , Ozx (Hình 25). Tìm toạ độ của các điểm 123,,AAA . II. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ
Toạ độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ OM→ . Nếu OM→ có tọa độ ;;abc thì ta viết ;;OMabc→ , trong đó a gọi là hoành độ của vectơ ,OMb→ gọi là tung độ của vectơ OM→ và c gọi là cao độ của vectơ OM→ (Hình 26). Chú ý: Trong không gian với hệ tọa độ , ta có: ;;;;OMabcMabc→ ; Vectơ đơn vị i→ trên trục Ox có toạ độ là 1;0;0i→ ; Vectơ đơn vị j→ trên trục Oy có tọa độ là 0;1;0j→ ; Vectơ đơn vị k→ trên trục Oz có tọa độ là 0;0;1k→ (Hình 27). Ví dụ 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm 4;3;1M và 2;1;3N . Tìm tọa độ của các vectơ ,OMON→→ . Trong không gian vởi hệ toạ độ Oxyz , toạ độ của một vectơ u→ là toạ độ của điểm A , trong đó A là điểm sao cho OAu→→ . Nếu u→ có tọa độ ;;abc thì ta viết ;;uabc→ , trong đó a gọi là hoành độ, b gọi là tung độ và c gọi là cao độ của vectơ u→ . Ví dụ 4. Tìm tọa độ của các vectơ 12,AAAA→→ ở Hình 30 .
Ta có định lí sau: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , nếu ;;uabc→ thì .uaibjck→→→→ Ngược lại, nếu uaibjck→→→→ thì ;;.uabc→ Chú ý: Với 111;;uxyz→ và 222;;vxyz→ , ta có: 12 12 12 xx uvyy zz       →→ Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết toạ độ của nó. Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm 1;2;3A và vectơ 3;4;2u→ . Hãy biểu diễn theo các vectơ ,ij→→ và k→ mỗi vectơ sau: a) OA→ ; b) u→ . Ta có định lí sau: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm ;;AAAAxyz và ;;BBBBxyz . Khi đó, ta có: ;;BABABAABxxyyzz→ . Ví dụ 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình bình hành có ba đỉnh 1;1;2,4;3;1AB và 1;2;2C . a) Tìm toạ độ của vectơ AB→ . b) Tìm tọa độ của điểm D . Ví dụ 7. Hình 33a mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như ở Hình 33b (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử AB là một trụ cầu lông để căng lưới. Hãy xác định tọa độ của vectơ AB→ .