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Série 2 : Cinématique du solide (2020/2021) Exercice n°4 N.B. : Tous les résultats de cet exercice seront exprimés dans la base de R1(O0;  x 1,  y 1,  z 0) Soit R1(O0 ;  x 1,  y 1,  z 0) un repère orthonormé direct déduit d'un repère fixe R0(O0;  x 0,  y 0,  z 0) par une rotation d’angle  autour de (O0;  z 0). On matérialise l'axe (O0;  x 1) sur lequel un cercle (C) de centre O et de rayon a est astreint à se déplacer dans le plan vertical (O0;  x 0,  y 0). On désignera par R(O;  x ,  y ,  z 0) le repère orthonormé direct lié au cercle (C). On note I le point de contact et P une particule de (C) tels que: OP = a  x , O I 0 = x  x 1 et (O  x 1,OP ) = . 1) Calculer la vitesse de glissement du cercle (C) sur la droite (O0, 1 x  ). Retrouver cette vitesse en utilisant la relation de composition des vitesses. 2) Donner ( I (C )/ R )   1  accélération de la particule de contact I. 3) On étudie le mouvement de P dans (R0) considéré comme absolu. Si (R1) est le repère relatif, donner les expressions: a) des vitesses relative, d'entraînement et absolue de la particule P. b) des accélérations relative, d'entraînement, complémentaire et absolue de la particule P. Exercice n°5 Un solide indéformable (S) est constitué par un disque (D), de centre C et de rayon a, rigidement lié à une tige CO, de longueur 2a, normale au disque en C. Le solide (S) est en mouvement par rapport à référentiel R0(O0; x⃗0, y⃗0, z⃗0). Au cours de son mouvement, (S) reste en contact : - au point I, avec le plan matérialisé (O0; x⃗0, y⃗0) - au point O avec l’axe (O0; z⃗0). On désigne par R(O; x⃗, y⃗, z⃗) un repère orthonormé lié au solide, l’axe (O; z⃗) coïncidant avec l’axe du disque. On suppose que l’extrémité O de la tige ne se déplace pas sur l’axe (O0; z⃗0), liaison rotule en O, et que le disque (D) roule sans glisser sur le plan horizontal (O0;  x 0,  y 0). (On prendra comme paramètres les angles d’Euler habituels: ,  ). 1) Exprimer, dans la base (  u ,  w,  z ), le vecteur rotation instantané de (S) par rapport à (R0). 2) Déterminer, au point G, le torseur cinématique de (S) dans son mouvement par rapport à (R0). 3) Exprimer la condition de roulement sans glissement. 4) Trouver l’axe instantané de rotation et les axoïdes du mouvement de (S) par rapport à R0. O 0 0 0 1 1  1 P 1 O  I 0  0 0 O I 0 O   C
UNIVERSITE SULTAN MOULAY SLIMANE Ecole Nationale des Sciences Appliquées Béni-Mellal Année universitaire: 2020/2021 Années Préparatoires au Cycle Ingénieur Matière : Mécanique des solides indéformables Correction de l’exercice 1 (TD n°1 : Cinématique du solide ) Exercice n°1 Un cercle (S) de rayon a et de centre G, roule sur un axe (O;  x 0) lié à un repère galiléen R0(O0; x⃗0, y⃗0, z⃗0). Le cercle reste constamment dans le plan vertical (O; x⃗0, y⃗0). Le repère R(G; x⃗, y⃗, z⃗0 ) est lié à (S). 1) Combien faut-il de paramètre pour décrire le mvt de (S) dans R0 ? Figure 2 Pour décrire le mouvement de (S) dans R0, il faut définir la position d’un point de (S) dans R0, et orienter la base du repère R(G; x⃗, y⃗, z⃗0 ), lié à (S), par rapport à la base de R0.  Position de G dans R0 : OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xx⃗0 + ay⃗0  un seul paramètre de translation : x ; (y = y⃗0. OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a = cte : c’est une éq. de liaison géométrique)  orientation de la base de R / à la base R0 : il s’agit d’un problème plan  un seul paramètre de rotation :  l’angle de rotation de (S) autour de l’axe (G, z⃗0). x et  sont donc les paramètres du mouvement de (S) par rapport à R0. 2) Exprimer le torseur de vitesses au point G. [V(S/R0 )] = { Ω⃗⃗(S/R0 ) = φ̇ z⃗0 V⃗⃗(G/R0 ) = ẋx⃗0 G 3) Déterminer la vitesse et l’accélération de M / à R0 de trois manières différentes. Position de M dans R0 : OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + GM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xx⃗0 + ay⃗0 + a cos x⃗0 + a sin y⃗0  OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (x + a cos) x⃗0 + a (1 + sin) y⃗0 a) Méthode directe : V⃗⃗(MS/R0 ) = dOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dt /R0 = (ẋ − aφ̇ sin) x⃗0 + aφ̇ cos y⃗0 Γ⃗(M/R0 ) = dV⃗⃗(M/R0 ) dt /R0 = (ẍ− a̈sin − aφ̇ 2 cos)x⃗0 + (a̈cos − aφ̇ 2 sin)y⃗0 b) Composition du mouvement R0(O ; x⃗0, y⃗0, z⃗0)  référentiel absolu ; RG(G; x⃗0, y⃗0, z⃗0)  référentiel relatif V⃗⃗(MS/R0 ) = V⃗⃗(MS/RG ) + V⃗⃗(MRG/R0 ) ; V⃗⃗(MS/RG ) = dGM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dt /RG = d(a cos x⃗0+a sin y⃗⃗0 ) dt /RG =−aφ̇ sin x⃗0 + aφ̇ cos y⃗0 ; V⃗⃗(MRG/R0 ) = V⃗⃗(G/R0 ) + Ω⃗⃗(RG/R0 ) ∧ GM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ẋx⃗0 (car Ω⃗⃗(RG/R0 ) = 0⃗⃗) ; d’où : V⃗⃗(MS/R0 ) = (ẋ − aφ̇ sin) x⃗0 + aφ̇ cos y⃗0. Γ⃗(MS/R0 ) = Γ⃗(MS/RG ) + Γ⃗(MRG/R0 ) + Γ⃗ c (M) ; y  0 0 M  I O G 0 0