Tiêu đề CHUYEN-DE-2_3.doc ✅

Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong Xét họ đường cong ()mC có phương trình (,)yfxm , trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi?  Phương pháp giải: o Bước 1: Đưa phương trình (,)yfxm về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: 0AmB hoặc 20AmBmC . o Bước 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình: 0 0 A B     hoặc 0 0 0 A B C       . o Bước 3: Kết luận  Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong ()mC không có điểm cố định.  Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của ()mC . II. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên: Cho đường cong ()C có phương trình ()yfx (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên.  Phương pháp giải: o Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số. o Bước 2: Lí luận để giải bài toán. III. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng: Cho đường cong ()C có phương trình ()yfx . Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng. Bài toán 1: Cho đồ thị 32:CyAxBxCxD trên đồ thị C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểm (,)IIIxy .  Phương pháp giải:  Gọi 3232;,;MaAaBaCaDNbAbBbCbD là hai điểm trên C đối xứng nhau qua điểm I .  Ta có 3322 2 ()22 I I abx AabBabCabDy      . Giải hệ phương trình tìm được ,ab từ đó tìm được toạ độ M, N. Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị 32:CyAxBxCxD . Trên đồ thị C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
 Phương pháp giải:  Gọi 3232,,,MaAaBaCaDNbAbBbCbD là hai điểm trên C đối xứng nhau qua gốc tọa độ.  Ta có 3322 0 ()20 ab AabBabCabD      .  Giải hệ phương trình tìm được ,ab từ đó tìm được toạ độ ,MN . Bài toán 3: Cho đồ thị 32:CyAxBxCxD trên đồ thị C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng 11:dyAxB .  Phương pháp giải:  Gọi 3232;,;MaAaBaCaDNbAbBbCbD là hai điểm trên C đối xứng nhau qua đường thẳng d .  Ta có: (1) .0(2)d Id MNu      →→ (với I là trung điểm của MN và du→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d ).  Giải hệ phương trình tìm được M, N. IV. Bài toán tìm điểm đặc biệt khác: 1. Lí thuyết: Loại 1. Cho hai điểm 2211222121;;;PxyQxyPQxxyy . Cho điểm 00;Mxy và đường thẳng :0dAxByC , thì khoảng cách từ M đến d là 00 22 ;AxByC hMd AB    . Loại 2. Khoảng cách từ 00;Mxy đến tiệm cận đứng xa là 0hxa . Loại 3. Khoảng cách từ 00;Mxy đến tiệm cận ngang yb là 0hyb . Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của một đường thẳng với một đường cong ()C nào đó. Vì vậy trước khi áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ của chúng. 2. Các bài toán thường gặp: Bài toán 1: Cho hàm số 0,0axbcadbc cxy d    có đồ thị C . Hãy tìm trên ()C hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.  Phương pháp giải:  C có tiệm cận đứng d x c do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số , là hai số dương.
 Nếu A thuộc nhánh trái thì AA ddd xx ccc ; ()AAyfx .  Nếu B thuộc nhánh phải thì BB ddd xx ccc ; ()BByfx .  Sau đó tính 22222BABABAABxxyyaayy .  Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả. Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số C có phương trình ()yfx . Tìm tọa độ điểm M thuộc ()C để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.  Phương pháp giải:  Gọi ;Mxy và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì dxy .  Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.  Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.  Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d . Bài toán 3: Cho đồ thị ()C có phương trình ()yfx . Tìm điểm M trên ()C sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy .  Phương pháp giải:  Theo đầu bài ta có   fxkxykx ykx ykxfxkx      . Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số ()C có phương trình ()0,0axbyfxcadbc cxd    . Tìm tọa độ điểm M trên ()C sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).  Phương pháp giải:  Tiệm cận đứng d x c   ; tiệm cận ngang a y c .  Ta tìm được tọa độ giao điểm ;da I cc    của hai tiệm cận.  Gọi ;MMMxy là điểm cần tìm. Khi đó: 222 MMM da IMxygx cc      Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả. Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số ()C có phương trình ()yfx và đường thẳng :0dAxByC . Tìm điểm I trên ()C sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất.  Phương pháp giải  Gọi I thuộc ()C0000;;()Ixyyfx .  Khoảng cách từ I đến d là 000 22 ();AxByC gxhId AB     Khảo sát hàm số ()ygx để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Đồ thị của hàm số (1)3ymxm ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ là A. (0;3)M . B. (1;2)M . C. (1;2)M . D. (0;1)M . Câu 2. Đồ thị của hàm số 221yxmxm ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ là A. 0;1M . B. 13 ; 22   M . C. 15 ; 24   M . D. (1;0)M . Câu 3. Đồ thị của hàm số 323yxxmxm ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ là A. 1;2M . B. 1;4M . C. 1;2M . D. 1;4M . Câu 4. Biết đồ thị mC của hàm số 4223yxmx luôn đi qua một điểm M cố định khi m thay đổi, khi đó tọa độ của điểm M là A. 1;1M . B. 1;4M . C. 0;2M . D. 0;3M . Câu 5. Biết đồ thị mC của hàm số (1)0mxmym xm    luôn đi qua một điểm M cố định khi m thay đổi. Tọa độ điểm M khi đó là A. 1 1; 2    M . B. 0;1M . C. 1;1M . D. 0;1M . Câu 6. Hỏi khi m thay đổi đồ thị ()mC của hàm số 3233yxmxxm đi qua bao nhiêu điểm cố định ? A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Câu 7. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C của hàm số 21 1 x y x    sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng 1 là A. 0;1,2;3MM . B. 2;1M . C. 3 1; 2M    . D. 5 3; 2M   . Câu 8. Hỏi khi m thay đổi đồ thị ()mC của hàm số 42(12)31ymxmxm đi qua bao nhiêu điểm cố định ? A. 3 . B. 4 . C. 1 . D. 2 . Câu 9. Tọa độ các điểm thuộc đồ thị C của hàm số 21 1 x y x    mà có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận của C bằng 4 là A. 4;3,2;1 . B. 2;5,0;1 . C. 2;5,0;1,4;3,2;1 . D. 2;5,4;3 .