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CÁLCULO 1 – CE84 SEMANA 3 – SP2 Temario: Regla de L ́Hopital, Derivadas implícitas y Tasas Relacionadas Logro de la sesión: El estudiante, aplica la Regla de L’Hopital en el cálculo de límites, Interpreta y aplica las derivadas implícitas. Plantea y resuelve situaciones que implican tasas relacionadas. REGLA DE L’HOPITAL Si f x g x ( ) y ( )son funciones continuas en un intervalo alrededor de un punto c, salvo quizás en el punto c, con derivadas continuas en dicho intervalo y g x '( ) 0 ≠ cerca de c. Si: ( ) 0 ( ) lim o lim ( ) 0 ( ) x c x c f x f x → → g x g x ∞ = = ∞ entonces: La Regla de L’Hopital se puede utilizar para el cálculo de límites de cocientes de funciones donde ambas tienden a cero o infinito siempre y cuando las funciones cumplan con las hipótesis del teorema Ejemplos: Halle los siguientes límites a) = − − → x x x x 2 8 lim 2 3 2 6 b) ( ) = → x x x 4 sen 3 lim 0 3/4 Ejercicios 1: Halle los siguientes límites a) ( ) ( ) = − → − x e x x x 1 4 0 tan cos 3 lim 4 b) = − → 2 0 1 cos lim x x x 1/2 Observación: La misma regla sirve también cuando x tiende a infinito y para límites laterales. Ejemplo: a) ( ) = → + x x x /1 ln lim 0 - 0 b) = − ∞→ 2 1 lim x e x x ∞ Ejercicios 2: Halle los siguientes límites a) 2 lim x x x →∞ e = 0 b) cos 2 0 lim x x e e → x   −     = /2 ( ) lim ( ) x c f x → g x = ( ) )(' ' lim g x f x →cx
CE84 CÁLCULO 1 2/7 EPE INGENIERÍA DERIVACIÓN IMPLÍCITA En muchas ocasiones podemos encontrar ecuaciones en las que las variables dependientes no se expresan explícitamente como funciones de las variables independientes. Por ejemplo: xy − = 9 0 ; 2 2 x y + = 8 • Si es posible definir una función f a partir de yxE ),( = 0 , diremos que esta función está definida explícitamente. Por ejemplo, de la ecuación xy − =4 0 podemos definir 4 y f x( ) x = = (en este caso la función está definida explícitamente) • De otro lado, si es posible definir una función f a partir de 0 yxE ),( = , y no podemos expresarlo en la forma )( y = xf , diremos que en 0 xE ,( y) = hay una función definida implícitamente. Por ejemplo, de la ecuación 3 3 x y xy + − = 6 0 no es posible expresar y como función de x. (en este caso la función y =f(x) está definida implícitamente) Si a partir de la ecuación 0 yxE ),( = , tenemos definida una función f implícitamente (o explícitamente), asumiendo que esta es derivable, podemos derivar )( y = xf respecto a la variable independiente x usando las reglas de derivación y fundamentalmente la regla de la cadena, y lo denotaremos ' dy y dx = Para entender la derivación implícita primero observa cómo se deriva ( )5 2 y x = +1 Observa que se tiene una función compuesta: ( )5 2 y u u x = = + donde 1, Aplicando la regla de la cadena se obtiene: 4 5 dy du u dx dx = ⋅ 2 4  y'= 10 (xx + )1 Precisamente para derivar implícitamente se debe considera a la variable y como una función de x (lo que ocurre es que no se puede despejar y en términos de x) Ejemplo Si 3 2 x y + − =1 0 , halle dy dx = Ejemplo Si 3 2 x y x y = + , halle dy dx =
CE84 CÁLCULO 1 3/7 EPE INGENIERÍA Ejercicio 3: A partir de la ecuación x y e xy + = , halle dx dy Ejercicio 4: Dada la curva cuya ecuación es 3 3 x y xy + = 6 , halle ' dy y dx = . Además, halle la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa 3. , : . A. Si 3 2 u r = , derivando ambos miembros respecto a r se obtiene: 2 3 2 u r = ¿verdadero? Falso, falta la diferencial de r. B. ¿En qué casos se aplica la regla de L’Hopital? En los casos de indeterminación. C. Si u y r son variables que dependen de otra variable t, y 3 2 u r = , derivando ambos miembros respecto a t ¿qué se obtiene? TASAS RELACIONADAS Son problemas donde se desea calcular la rapidez con que cambia una variable en términos de la razón de cambio de otras variables que están relacionadas mediante una ecuación. Por ejemplo, suponga que se bombea aire en el interior de un globo esférico a razón de 4,5 m3 /minuto y se quiere calcular la rapidez de cambio del radio del globo cuando este mide 2 m. (1) Lo primero que se debe hacer es un dibujo para representar el texto, incluyendo de ser posible todas las variables que se va a necesitar durante el proceso. Observe que en este caso las variables son: el volumen y el radio Definición de variables V = volumen de la esfera en m3 . r = el radio de la esfera en m. (2) Interpretación del texto “Se bombea aire en el interior de un globo esférico a razón de 4,5 m3 /minuto” esto significa que la tasa de cambio (o rapidez) del volumen respecto del tiempo es de 4,5 m3 /minuto y se representa por: , “Calcule la rapidez de cambio del radio del globo” significa que se debe hallar la tasa de cambio (o rapidez) del radio respecto del tiempo y se representa por: “cuando el radio es de 2 m” significa que: | (3) Determine una fórmula que relacione las variables: (4) Derive (respecto al tiempo): r
CE84 CÁLCULO 1 4/7 EPE INGENIERÍA (5) Reemplace los valores obtenidos en el paso (2): , (6) Efectúe las operaciones correspondientes y despeje | , ! Respuesta: El radio aumenta a razón de 0,895 m/min. Ejercicio 5 El lado de un cubo está cambiando a razón de 2 cm/minuto. a) Halle la razón de cambio del área cuando el lado mide 5 cm. Rpta: 72cm2 /min b) Halle la razón de cambio del volumen cuando el lado mide 3 cm. Rpta: 15cm2 /min Ejercicio 6 El área de una mancha circular de petróleo, que proviene de la ruptura de un oleoducto, crece a razón de 30 kilómetros cuadrados por hora. ¿Con cuánta rapidez crece el radio cuando éste es de 5 kilómetros? OBSERVACIÓN: Sea x la distancia que hay entre una persona y un poste, la cual cambia en función al tiempo: I) En la figura (a) se tiene una persona que se acerca a un poste, la variable x representa la distancia entre una persona y un poste, entonces dx dt es la rapidez de la persona y como la variable x está disminuyendo se considera de signo negativo II) En la figura (b) se tiene una persona que se aleja de un poste, , la variable x representa la distancia entre una persona y un poste, entonces dx dt es la rapidez de la persona y como la variable x está aumentando se considera de signo positivo Ejemplo Una escalera de mano de 10 m de largo está apoyada contra una pared tal como se observa en la figura adjunta. Si la parte inferior de la escalera resbala sobre el suelo, alejándose del muro, con una rapidez de 5 m/s ¿con qué rapidez está bajando por el muro la parte superior de la escalera en el momento en que está a una altura de 8 metros del suelo?