Tiêu đề 2. File giáo viên.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ 4. CẤP SỐ CỘNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 2. Cấp số cộng nu với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi: 1 , 2. nnuudn 3. Nếu cấp số cộng nu có số hạng đầu 1u và công sai d thì số hạng tổng quát nu của nó được xác định theo công thức: 11.nuund 4. Cho cấp số cộng nu với công sai d . Đặt 12nnSuuu . Khi đó 1 121.  22 n n nuun Sund   B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: 7551. nxn (Nguồn: https:///bibabo.vn) a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét? b) Dãy số nx có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét? Lời giải a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là: 37553185 cmx b) Ta có: 175511755nxnn Xét hiệu 175575515nnxxnn Do đó nx là một cấp số cộng có số hạng đầu 175x và công sai 5d Câu 2: Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu. Phuơng án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu. Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi: a) Kí hợp đồng lao động 3 năm? b) Kí hợp đồng lao động 10 năm? Lời giải +) Theo phương án 1: Gọi (un) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm.
Dãy số nu lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu 1120u và công sai 18d . Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: 120118nun . +) Theo phương án 2: Gọi nv là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý. Dãy số nv lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu 1v24 và công sai d1,8 . Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là 2411,8nvn . a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có: +) Theo phương án 1: 3120u + (3 - 1).18 = 156 (triệu đồng) Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là:  3 3120156 414 2S  (triệu đồng). +) Theo phương án 2: 12241211,843,8u . Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là:  12 122443,8 406,8 2S  (triệu đồng). Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1. b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có: +) Theo phương án 1: 10120 10 1.18 282u (triệu đồng) Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là:  10 10120282 2010 2S  (triệu đồng). +) Theo phương án 2: 40244011,894,2u (triệu đồng). Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm tương ứng với 40 quý là:  12 402494,2 2364  2S  (triệu đồng). Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 10 năm thì nên theo phương án 2. Câu 3: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm,43 cm , 41 cm,,31 cm . a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?
b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể. Lời giải a) Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai là - 4521472nunn Khi 318nun Vậy cái thang có 8 bậc. b)  8 8.4531 304 2S  . Vậy chiều dài thanh gỗ là 304 cm. Câu 4: Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 16;48;80;112;144; (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng). a) Tỉnh công sai của cấp số cộng trên. b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên. Lời giải a) Công sai của cấp số cộng trên là: 32d . b)  10 102.1610132 1600 2S   . Vậy tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là 1600 feet. Câu 5: Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm . Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100 cm . Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu? Lời giải Cây với kiểu gene AABB có chiều cao là: 100 + 5.4 = 120 (cm) Câu 6: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mối năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng. Lời giải Giá của chiếc xe sau n năm là: 680551nun Vậy sau 5 năm sử dụng giá của chiếc xe là: 56805551460u (triệu đồng) Câu 7: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số
ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế? Lời giải Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu 115u và công sai d3 . Gọi n là số các số hạng đầu cua cấp số cộng cần lấy tổng, ta có: 87021513273 22n nn Snn  Do đó 227317400nn , suy ra n20,n29 (loại) Vậy cần phải thiết kế 20 hàng ghế Câu 8: Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030. Lời giải Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có 11200u , công sai d30 Dân số mỗi năm có dạng tổng quát là: 1200301nun Dân số của năm 2030 tức 11n111200301111500u (nghìn người) Câu 9: Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,5 m. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển? Lời giải Kí hiệu nu là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ n . Khi đó, dãy số nu là một cấp số cộng với 1950u và 1,5d . Ta có: 12111d95011.1,5966,5uu Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao 966,5 m so với mực nước biển. Câu 10: Bác Tư vào làm cho một công ty với hợp đồng về tiền lương mỗi năm như sau: Năm thứ nhất: 240 triệu; Từ năm thứ hai trở đi: Mỗi năm tăng thêm 12 triệu. Tính số tiền lương một năm của bác Tư vào năm thứ 11. Lời giải Gọi nu là số tiền lương của bác Tư nhận được vào năm thứ n . Khi đó, dãy số nu tạo thành cấp số cộng với 1240u và 12d . Ta có 11110d24010.12360uu