Tiêu đề Chương 3_Bài 2_Giới hạn hàm số_CD_Đề bài.docx ✅

BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa Ta viết khoảng K thay cho các khoảng ;,;,;,;abba . Tổng quát ta có: Cho khoảng K chứa điểm 0x và hàm số fx xác định trên K hoặc trên 0\Kx . Hàm số fx có giới hạn là số L khi x dần tới 0x nếu với dãy số nx bất kì, \noxKx và 0nxx thì nfxL . Kí hiệu:  0 limxxfxL hay fxL khi 0xx . Nhận xét: 000lim;lim xxxx xxcc  , với c là hằng số. Chú ý: Hàm số fx có thể không xác định tại 0xx nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới 0x . 2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số Ta thừa nhận định lí sau: a) Nếu lim oxx fxL   và lim, oxx gxMLM  R thì lim oxx fxgxLM    ; lim oxx fxgxLM    lim.. oxx fxgxLM     lim( oxx fxL gxM nếu 0)M . b) Nếu 0fx và lim oxx fxL   thì 0L và lim oxx fxL   . 3. Giới hạn một phía -Trong trường hợp tổng quát, ta có các định nghĩa sau:  Cho hàm số yfx xác định trên khoảng 0;ax . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số yfx khi 0xx nếu với dãy số nx bất kì, 0naxx và 0nxx , ta có nfxL . Kí hiệu:  0 lim xx fxL    .  Cho hàm số yfx xác định trên khoảng 0;xb . Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số yfx khi 0xx nếu với dãy số nx bất kì, 0nxxb và 0nxx , ta có nfxL . Kí hiệu: lim oxx fxL    . Định lí sau đây cho ta mối liên hệ giữa "giới hạn hai phía" lim oxx fx  với giới hạn bên trái lim oxx fx   và giới hạn bên phải lim oxx fx   .
 0 lim   xx fxL  khi và chỉ khi  00 limlim xxxx fxfxL    II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: a) Cho hàm số yfx xác định trên khoảng ;a . Ta nói hàm số yfx có giới hạn là số L khi x nếu với dãy số nx bất kì, nxa và nx , ta có nfxL . Kí hiệu: lim x fxL  hay fxL khi x . b) Cho hàm số yfx xác định trên khoảng ;a . Ta nói hàm số yfx có giới hạn là số L khi x nếu với dãy số nx bất kì, nxa và nx , ta có nfxL . Kí hiệu: lim x fxL   hay fxL khi x . Chú ý Với ,ck là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: lim;lim;lim0;lim0. kk xxxx cc cccc xx Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi 0xx vẫn còn đúng khi x hoặc x . III. GIỚI HẠN VÔ CỰC (MỘT PHÍA) CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số yfx xác định trên khoảng ;a . Ta nói hàm số yfx có giới hạn là  khi xa nếu với dãy số nx bất kì, nxa và nxa , ta có nfx . Kí hiệu lim xa fx    hay fx khi xa . Các trường hợp lim;lim;lim xaxaxa fxfxfx    được định nghĩa tương tự. Chú ý: Ta có hai giới hạn cơ bản sau: 11 lim; lim. xaxaxaxa     IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC -Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số yfx xác định trên khoảng ;a . Ta nói hàm số yfx có giới hạn là  khi x nếu với dãy số nx bất kì, nxa và nx , ta có nfx . Kí hiệu: lim x fx   hay fx khi x . Các trường hợp lim;lim;lim xx x fxfxfx       . được định nghĩa tương tự. Chú ý: Ta có ba giới hạn cơ bản sau:
limk x x     với k là số nguyên dương. limk x x     với k là số nguyên dương chẵn. limk x x   với k là số nguyên dương lẻ. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: a) 2 3 lim x x  b) 2 5 25 lim 5x x x   Bài 2. Biết rằng hàm số fx thoả mãn  2 lim3 x fx    và  2 lim5 x fx    . Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn  2 lim x fx  hay không? Giải thích. Bài 3. Tính các giới hạn sau: a) 2 2 lim43 x xx  b) 2 3 56 lim 3x xx x   c) 1 1 lim 1x x x   Bài 4. Tính các giới hạn sau: a) 91 lim 34x x x   ; b) 711 lim 23x x x   ; c) 2 1 lim x x x  ; d) 2 1 lim x x x  e) 6 1 lim 6xx g) 7 1 lim 7xx Bài 5. Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được 500 4 t Ntt t  bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính lim t Nt  và cho biết ý nghĩa của kết quả. Bài 6. Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: 50000105Cxx . a) Tính chi phí trung bình _Cx để sản xuất một sản phẩm. b) Tính _lim x Cx  và cho biết ý nghĩa của kết quả. C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Phương pháp Nếu hàm số fx xác định trên 0Kx thì 0 xx 0 limfxfx.  2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính 2 x1 limxx7.  Ví dụ 2: Tính 45 46 x1 3x2x lim 5x3x1   Ví dụ 3: Tính 3 x1 lim4x2x3 
Ví dụ 4: Tính 3 3x12 x1 lim x32   Ví dụ 5: Tính 42 2 x2 x4x3 lim 7x9x1   Dạng 2. Giới hạn tại vô cực 1. Phương pháp Giới hạn hữu hạn tại vô cực Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng ;.lim() x afxL  với mọi dãy số nx , nxa và nx ta đều có lim()fxL . LƯU Ý: Định nghĩa lim() x fxL  được phát biểu hoàn toàn tương tự. Giới hạn vô cực tại vô cực Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng ;.lim() x afx  với mọi dãy số nx , nxa và nx ta đều có lim()fx . LƯU Ý: Các định nghĩa: lim(),lim(),lim() xxx fxfxfx  được phát biểu hoàn toàn tương tự. Một số giới hạn đặc biệt lim0 k x c x ( c là hằng số, k nguyên dương ). limk x x  với k nguyên dương; limk x x  nếu k là số nguyên lẻ; limk x x  nếu k là số nguyên chẵn. Nhận xét: lim()lim() xx fxfx    . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính 3lim25 x xx  Ví dụ 2: Tính 42lim321 x xx  Ví dụ 3: Cho hàm số 225fxxx . Tính lim x fx  Ví dụ 4: 22lim41xxxx Dạng 3. giới hạn một bên 1. Phương pháp Ta cần nắm các tính chất sau n0nn0n nn xx 0 limf(x)Lx,xxb,limxxlimf(x)L   