Tiêu đề Chủ đề 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM - Soạn bởi Đặng Việt Hùng.Image.Marked.pdf ✅

CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÌM NGUYÊN HÀM DẠNG 1. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM SỐ VÔ TỈ (Đặt t = hàm theo biến x)  Mẫu 1: Đổi biến hàm số vô tỷ đơn giản Nguyên hàm trong f  x dx đó ta đặt      n f x  g x     n n t  g x  t  g x   . Khi đó n 1 nt dt g x dx     f  x dx  ht dt.    Mẫu 2: Nguyên hàm dạng   . x f a dx  Ta đặt .    . ln .ln .ln x x x dt f t dt t a dt a adx dx f a dx t a t a           Mẫu 3: Nguyên hàm dạng ln  . f x dx x  Ta đặt Khi đó 1 t ln x dt dx. x        ln . f x dx f t dt x    Chú ý: Nếu nguyên hàm Mẫu 2 và Mẫu 3 có chứa căn thức, ta nên đặt t bằng căn thức. Ví dụ với nguyên hàm ta nên đặt 2 ln . ln 1 x dx I x x    2 2 2 t  ln x 1  t  ln x 1. Khi đó . 1 1 2tdt 2ln x. dx tdt ln x. dx. x x     2 ln 1 tdt I dt t C x C t          Ví dụ 1: Tìm các nguyên hàm sau: a) b) 3 2 I  x x  4dx.    3 2 I  x x  4 dx.  c) d)   . 1 dx I x x    3 1 . 9 I dx x x    Lời giải a) Đặt 2 2 2 t  x  4  t  x  4  2tdt  2xdx  tdt  xdx. Khi đó     2 2 2 4 2 I  x x  4xdx  t  4 t.tdt  t  4t dt        5 3 2 2 5 3 4 4 4 4 . 5 3 5 3 x x t t C C         b) Đặt 2 2 2 t  x  4  t  x  4  2tdt  2xdx  tdt  xdx. Khi đó     5 2 5 3 2 3 4 4 4 . . 5 5 x t I x x dx t tdt t dt C C             c) Đặt 2 t  x  t  x  2tdt  dx
Khi đó         2 2 2 2 1 1 1 2 . 1 1 1 1 tdt dt t t dt I dt t t t t t t t t                      2ln 2ln 1 2ln 2ln . 1 1 t x t t C C C t x           d) Đặt 3 2 3 2 t  x  9  t  x  9  2tdt  3x dx Ta có:   2 3 3 3 2 1 3 2 9 3 9 3 9 . x tdt I dx dx x x x x t t                    2 2 2 1 3 3 1 1 1 3 9 3 3 3 9 3 3 9 3 3 d t t dt t dt t t t t t t t                              3 3 1 3 1 9 3 ln ln . 9 3 9 9 3 t x C C t x           Ví dụ 2: Tìm các nguyên hàm sau: a) b) 2 1 . 1 x xe I dx e     2 ln 1 . ln x I dx x x    c) d) ln . 2ln 1 . x x I dx x    ln . . ln 2 x I dx x x    Lời giải a) Đặt x x t  e  dt  e dx  dt  tdx Khi đó           2 2 2 2 2 2 1 2 1 ln ln 1 x x t dt t dt d t t I t t C e e C t t t t t t                   ln ln  1 ln  1 . x x x  e  e   C  x  e   C Cách 2: 2 1 1 1 1 1 1 1                         x x x x x x x x x e e e e e dx I dx dx dx dx e e e e     1 ln 1 . 1 x x x d e x e x C e          b) Đặt ln dx t x dt x    Khi đó 2 2 2 1 1 ln ln ln ln . 2 2 t t x I dt t dt t C x C t t                   c) Đặt 2 2 2ln 1 2ln 1 2 . dx dx t x t x tdt tdt x x          Khi đó:   2 5 3 1 1 4 2 2 2 10 6 t t t I tdt t t dt C         
    5 3 2ln 1 2ln 1 . 10 6 x x t C       d) Đặt 2 ln 2 ln 2 2 dx t x t x tdt x        Khi đó     3 2 3 2 2 2 2 ln 2 .2 2 2 4 4 ln 2 . 3 3 t t x I tdt t dt t C x C t              Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) b) c) 1 4 1 xdx I x    3 2 2 I  x x  2dx  2 3 1 x dx I x    Lời giải a) Đặt   2 2 2 2 1 1 2 4 . 4 2 1 4 1 4 1 1 4 1 8 4 t tdt tdt dx xdx t x t x I t dt t t x x t                          3 3 1 1 4 1 4 1 . 8 3 8 3 t x t C x C                       b) Đặt   2 2 2 2 2 3 2 2 t  x  2  t  x  2  x  t  2  2xdx  2tdt  x dx  x .xdx  t  2 .tdt         5 3 2 2 5 3 2 3 2 4 2 2 2 2 2 2. . 2 2 2. 5 3 5 3 x x t t I x x dx t t tdt t t dt C C                  c) Đặt     2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 1 2 1 1 dx tdt t tdt x dx t x t x x t I x t x t                                  5 3 5 3 2 2 4 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 5 3 5 3 t t x x t dt t t dt t C x C                                           5 3 2 2 5 3 2 3 2 3 2 2 2 2. . 2 2. . 5 3 5 3 x x t t I x x dx t t tdt C C               Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) b) 4 x 1 I dx x    5 1 1 3 dx I x     Lời giải a) Đặt    2 2 2 4 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 tdt dx t dt t x t x I dt x t t t t                           
4 1 1 1 2 2 1 ln 1 1 1 t x I t C x C t x              b) Đặt   2 2 5 2 3 2 2 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 3 tdt dx tdt t x t x I dt t x t t                             5     2 2 ln 1 1 3 ln 1 3 1 3 3 I  t  t   C   x   x  Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) b) 2 6 1 1 x x e dx I e       7 2 1 dx I x x    Lời giải a) Đặt     2 2 2 6 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 x x x x t t dt tdt e dx t e t e I t t dt e t t t                                   3 3 2 1 1 2 2 2ln 1 2 2 1 2ln 1 1 3 2 3 2 x x x x e t t e t t C e e C                               b) Đặt   2 7 2 2 2 2 2 1 1 1 tdt dx tdt t x I C C t x t t t x                    Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm I  x x 1dx.  A.    B. 2 1 3 2 1 . 3 I  x  x  x   C 2 13 2 1 . 15 x x x I C      C. D.   2 2 1 1 . 15 x x I C     3 13 2 1 . 5 x x x I C      Lời giải Đặt 2 t  x 1  t  x 1 2tdt  dx Ta có:       5 3 3 2 4 2 2 2 2 2 1 .2 2 2 3 5 5 3 15 t t t I  t  t tdt  t  t dt    C  t    Chọn B. 2 13 2 1 . 15 x x x C      Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm 2 . 2 x I dx x   