Tiêu đề Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 10 - Số phức và ứng dụng.doc ✅

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Số phức và các phép toán Tập hợp số phức ℂ , đơn vị ảo i với 21i . - Số phức (dạng đại số): ,zabiabℝ a là phần thực, b là phần ảo của z. Kí hiệu Re, lm zazb . - Số phức liên hiệp của số phức: ,,zabiabℝ là zabi z là số thực  phần ảo của z bằng 0 zz z là số ảo  phần thực của z bằng 0 zz 0z là số phức duy nhất vừa là số thực vừa là số ảo. - Môđun của số phức: ,,zabiabℝ 22 zabzz - Phép toán: ''''abiabiaabbi ''''abiabiaabbi ''''''abiabiaabbabbai ( ,,','ababℝ ) 11 22 11''' 0:;'.zzzzz zzzzz zzzzzz   . Chú ý: 1) 44142431;;1;1mmmmiiiii . 2) ;'';'.'zzzzzzzzzz 3) 2 2'''' '.';;,zzzz zzzzzz zzzz     . Số phức dạng lượng giác - Cho số phức: zabi với ,,0abzℝ , ta có cossinri với 0r là dạng lượng giác của số phức: zabi 22 ,cos,sinab rab rr  là một acgumen của z với số đo rađian. Góc lượng giác ,2OxOMk tức là các acgumen sai khác 2k với k 3cos.sin 1212 1 ii z i      .
Trang 2 Khi 0z không có dạng lượng giác hoặc dạng lượng giác không xác định. - Nếu cossin,''cos'sin'zrizri thì có: ''cos'sin'zzrri cos'sin','0 '' zr iz zr  Công thức Moa-vrơ Với n là số nguyên, 1n thì cossincossinnnrirnin Đặc biệt: cossincossinninin Căn bậc hai, bậc n của số phức - Số phức z là một căn bậc hai của số phức 2wzw . Ta có thể viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc này thu gọn quá trình tìm căn bậc hai của w . - Số phức z là một căn bậc n của số phức nwzw . Đặc biệt căn của đơn vị: cossin1ni 2 cossincos0sin0,0,1,2,...,1k ninikn n   Do đó phương trình 1nz có n nghiệm phức (là các căn bậc n của đơn vị) 22 cossin,0,1,2,...,1 k kk zikn nn   Kết quả tổng của các căn của đơn vị bằng 0. Phương trình bậc hai, bậc n Phương trình bậc hai 20AzBzC với 0,,ABC là các số phức. Lập biệt thức: 24BAC Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép 2 B z A   Nếu 0 ta tìm các căn bậc hai  của  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1,22 B z A   . Định lý Viet: Nếu  và  là hai nghiệm của phương trình bậc hai: 2 0AxBxC thì: B S A và .C P A Đảo lại, hai số phức  và  là các nghiệm của phương trình bậc hai: 2.0xx - Phương trình bậc n: 1 011...0nn nnAzAzAzA  trong đó 01,,..., nAAA là 1n số phức cho trước, 00A , n là một số nguyên dương luôn có n nghiệm phức, không nhất thiết phân biệt. Hệ phương trình
Trang 3 - Dùng các biến đổi tích số, rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… như trong hệ phương trình đại số để giải. - Đặt ,,zxyixyℝ và '''zxyi , ','xyℝ rồi thế vào hệ, đồng nhất để tìm ,,','xyxy . Biểu diễn số phức: - Biểu diễn hình học: Số phức ,,zxyixyℝ được biểu diễn bởi điểm ;Mxy hay bởi vectơ 4; 1 i xy i trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng phức. Trục thực là trục hoành và trục ảo là trục tung. - Nếu ,'zz biểu diễn bởi ,'MM thì 'zz được biểu diễn bởi ','OMOMzz→→ được biểu diễn bởi ''OMOMMM→→→ . Tập điểm biểu diễn số phức: - Gọi điểm ;Mxy biểu diễn số phức ,zxyixyℝ - Từ điều kiện cho thiết lập quan hệ giữa x và y hay quanh hệ giữa M và các điểm khác để xác định dạng loại tập điểm cần tìm. 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 10.1: Thực hiện các phép tính sau: 331011 12323 1 i Aiii ii     23201111...1Biiii Hướng dẫn giải Ta có: 22 2 1112112 11112 iiiii i ii    Nên: 33163321. 1 i iiii i     . Và 221122iiii Nên 1051232iii . Từ đó tính được 1332Ci Ta có   212121 1 11111 .1. 111 iiq Du qii    mà 21201011.112iiiii 1010101.22.2ii Vậy:  1010101012.2221.iDi i    Bài toán 10.2: Cho số phức z thỏa mãn:
Trang 4 a) 1 3 2 z z z    . Tính 2 zi zi   b) 4 1zi z  . Tính 11iz Hướng dẫn giải a) Ta có 13132,2 2 z zzzzz z    22 450 2 zi zz zi      Với 22210226 2, 2313131322 ziizi zii izizi    Với 24225 2, 255522 zizi zii izizi    b) Đặt ,,zabiabℝ Ta có: 22441 1ziababibai z  22 1,24 2,11 ababab abba      Với 1,2ab , thì 11111233iziii Với 2,1ab , thì 1111233iziii . Bài toán 10.3: Cho số phức z. Hỏi mỗi số sau là số thực hay số ảo a) 22zz b) 33 zz zz   Hướng dẫn giải Ta tính các số phức liên hiệp: a) 222222zzzzzz . Vậy 22zz là số thực. b) 333333 zzzzzz zzzzzz    . Vậy 33 zz zz   là số ảo. Bài toán 10.4: Tìm các căn bậc hai của số phức a) 143i b) 17202i Hướng dẫn giải a) ,xyℝ . Giả sử: 2143xyii