Tiêu đề °Cours Calcul Différentiel FSDM FES SMA5 10 11.pdf ✅

UNIVERSITE MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES DHAR EL MEHRAZ DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES. COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL Par Brahim BOUSSOUIS Année universitaire : 2010-2011.
Table des matières 1 Espa es de Bana h. 1 1.1 Espa es ve toriels normés, Espa es préhilbertiens. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Topologie des Espa es Normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Normes équivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Produit d'espa es normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Espa es normés de dimension nie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Espa es de Bana h et espa es de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Attention aux espa es normés de dimension innie. . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Séries ve torielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Algèbres de Bana h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Appli ations linéaires ontinues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Appli ations multinéaires ontinues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Isomorphisme d'espa es ve toriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.1 Isomorphismes anoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Appli ations diérentiables. 18 2.1 Appli ations diérentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Premiers exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Diérentiabilité de l'appli ation x 7→ x −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Règles formelles de dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Diérentielle de la fon tion ré iproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Dérivées partielles et Dérivées selon un ve teur. . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.3 Appli ation aux fon tions de plusieurs variables réelles. . . . . . . . . . 25 3 Théorème des a roissements nis et appli ations. 27 3.1 Théorème des a roissements nis en dimension 1. . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Théorème des a roissements nis en dimension supérieure à 1. . . . . . . . . 28 3.3 Appli ations du théorème des a roissements nis. . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.1 Conditions de Lipshitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2 Cara térisation des appli ations onstantes sur un ouvert onnexe. . . 31 3.3.3 Cara térisation des appli ations de lasse C 1 dénies sur un produit. . 31 3.3.4 Appli ations stri tement diérentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.5 Suites et séries d'appli ations diérentiables. . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Diérentielles d'ordre supérieur. 36 4.1 Diérentielle se onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.1 Théorème de S hwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Diérentielles su essives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2.1 Propriétés des appli ations p fois diérentiables. . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 Diérentielles partielles d'ordre supérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ii
4.3.1 Appli ation aux fon tions de plusieurs variables réelles. . . . . . . . . . 41 5 Formules de Taylor. 43 5.1 Intégrale de Riemann d'une fon tion à valeurs ve torielles. . . . . . . . . . . . 43 5.2 Formules de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2.1 Formules de Taylor pour les fon tions ve torielles d'une variable réelle. 44 5.2.2 Formules de Taylor pour les fon tions ve torielles d'une variable ve to- rielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2.3 Uni ité de la formule de Taylor-Young. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2.4 Formule de Taylor pour une fon tion de plusieurs variables réelles. . . 49 5.3 Appli ations des formules de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.3.1 Fon tions onvexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.3.2 Appli ations à la re her he des extrema libres. . . . . . . . . . . . . . 52 6 Les grands théorèmes. 57 6.1 Théorème d'inversion lo ale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.1.1 Diéomorphismes (ou hangement de variables). . . . . . . . . . . . . 57 6.1.2 Théorème d'inversion lo ale en dimension nie. . . . . . . . . . . . . . 60 6.1.3 Théorème de l'appli ation ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.2 Théorème des fon tions impli ites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2.1 Théorèmes des fon tions impli ites en dimension nie. . . . . . . . . . 65 6.2.2 Appli ation à la re her he des extrema liés. . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.3 Théorème du rang onstant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.3.1 Théorèmes de l'immersion et de la submersion . . . . . . . . . . . . . . 72 A Topologie des espa es métriques. 75 A.1 Espa es métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 A.2 Topologie des espa es métriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 A.3 Espa es métriques omplets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 A.4 Distan es équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 A.5 Produit d'espa es métriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 A.6 Limites et Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 A.7 Compa ité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 A.8 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A.9 Prolongement d'une appli ation uniformément ontinue. . . . . . . . . . . . . 86 A.10 Théorème du point xe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 iii
INTRODUCTION Le module de al ul diérentiel de la nouvelle lière SMA omprend deux parties : une pre- mière partie onsa rée au al ul diérentiel dans les espa es de Bana h et une deuxième partie onsa rée aux équations diérentielles. Ce poly opié ontient la première partie de e module. Il se dé line en six hapitres et une annexe. Dans le premier hapitre, on étudie la topologie des espa es normés et la ontinuité des appli- ations linéaires et multilinéaires. Dans le se ond hapitre, on introduit la notion d'appli ation diérentiable et on y établit les règles formelles de diérentiation. Le troisième hapitre est dédié au théorème des a roissements nis et à ses appli ations, notamment la ara térisa- tion des aplli ations de lasse C 1 dénies sur un produit. Le quatrième hapitre est onsa ré aux diérentielles d'ordre supérieur. Le prin ipal résultat de e hapitre est le théorème de S hwarz sur la symétrie des diérentielles d'ordre supérieur ou égal à deux. Dans le inquième hapitre, on établit les formules de Taylor et leur appli ation à la re her he des extrema libres. Le dernier hapitre est réservé aux théorèmes d'inversion lo ale, des fon tions impli ites et du rang onstant, ainsi qu'à l'étude des extrema liés. Un hapitre annexe a été ra jouté à e po- ly opié. On y rappelle les prin ipaux résultats de topologie des espa es métriques né essaires à la ompréhension de e ours. J'espère que e poly opié fa ilitera aux étudiants la prise de notes, et leur permettra de mieux on entrer leur attention sur les expli ations et les exemples donnés en lasse. Brahim Boussouis O tobre 2010. iv