Tiêu đề Bài 19_ _Lời giải_Toán 10_KNTT.pdf ✅

CHƯƠNG VII. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 19. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG  Vectơ rn khác 0 r được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng D nếu giá của nó vuông góc với D . Nhận xét:  Nếu rn là vectơ pháp tuyến của đường thẳng D thì ( 0) 1 r kn k cũng là vectơ pháp tuyến của D.  Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.  Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax by c + + = 0, với a và b không đồng thời bằng 0 .  Phương trình đường thẳng đi qua M x y  0 0 ;  và nhận vectơ ( ; ) rn a b là vectơ pháp tuyến có dạng a x x b y y  - + - = 0 0    0 hay 0 0 ax by ax by + - - = 0 .  Mỗi phương trình dạng ax by c + + = 0 ( a và b không đồng thời bằng 0 ) đều là phương trình tồng quát của một đường thẳng, nhận ( ; ) rn a b là vectơ pháp tuyến. 2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG  Vectơ ru khác 0 r được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng D nếu giá của nó song song hoặc trùng với D . Nhận xét:  Nếu ru là vectơ chỉ phương của đường thẳng D thì ( 0) 1 r ku k cũng là vectơ chỉ phương của D.  Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.  Hai vectơ ( ; ) rn a b và ( ; ) - ru b a vuông góc với nhau nên nếu rn là vectơ pháp tuyến của đường thẳng D thì ru là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.  Nếu ( ; ) rn a b là một vectơ pháp tuyến của D thì ( ; ) - ru b a và ( ; ) - rv b a là các vectơ chỉ phương của D .  Nếu ( ; ) ru a b là một vectơ chỉ phương của D thì 1( ; ) - urn b a và 2 ( ; ) - uurn b a là các vectơ pháp tuyến của D .  Đường thẳng D đi qua điểm M x y  0 0 ;  và nhận ( ; ) ru a b là vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng D là 0 0 ì = + í î = + x x at y y bt B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Dạng 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 1. Phương pháp giải  Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng D ta cần xác định
- Điểm 0 0 A x y ( ; ) Î D - Một vectơ pháp tuyến n a b ( ; ) ur của D Khi đó phương trình tổng quát của D là a x x b y y ( - + - = 0 0 ) ( ) 0 Chú ý: o Đường thẳng D có phương trình tổng quát là 2 2 ax by c a b + + = + 1 0, 0 nhận n a b ( ; ) ur làm vectơ pháp tuyến. o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. o Phương trình đường thẳng D qua điểm M x y ( 0 0 ; ) có dạng D - + - = : 0 a x x b y y ( 0 0 ) ( ) với 2 2 a b + 1 0 hoặc ta chia làm hai trường hợp + 0 x x = : nếu đường thẳng song song với trục Oy + y y k x x - = - 0 0 ( ) : nếu đường thẳng cắt trục Oy o Phương trình đường thẳng đi qua A a B b ( ;0 , 0; ) ( ) với ab 1 0 có dạng 1 x y a b + = 2. Ví dụ Ví dụ 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M 3;4 và có VTPT n = - 2;1 r Lời giải Đường thẳng d đi qua M 3;4 và có VTPT n = - 2;1 r . Phương trình tổng quát của d có dạng Ax By C + + = 0 . Thay A = -2 , B =1 vào ta có: - + + = 2 0 x y C . M d Î Þ - + + = Þ = 6 4 0 2 C C . Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là: - + + = 2 2 0 x y hay 2 2 0 x y - - = . Ví dụ 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng a) qua A2;0 và B0;3 . b) qua M - - 5; 8 và có hệ số góc k = -3. Lời giải a) Phương trình theo đoạn chắn 1 3 2 6 0 2 3 x y + = Û - - = x y - b) Phương trình theo hệ số góc: y kx m x m = + = - + 3 .
Đường thẳng đi qua M - - 5; 8 nên - = + Û = - 8 15 23 m m . Do đó phương trình tổng quát: y x x y = - - Û + + = 3 23 3 23 0 . Ví dụ 3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d a) qua M - - 1; 4 và song song với đường thẳng 3 5 2 0 x y + - = . b) qua N 1;1 và vuông góc với đường thẳng 2 3 7 0 x y + + = . Lời giải a) VTPT của đường thẳng 3 5 2 0 x y + - = cũng là VTPT của đường thẳng d nên phương trình của d có dạng 3 5 0 x y c + + = ( 2) c 1 - . Vì d đi qua điểm M - - 1; 4 nên - - + = Þ = 3 20 0 23 c c . Vậy phương trình tổng quát của d x y : 3 5 23 0 + + = . b) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng 2 3 7 0 x y + + = nên lấy VTCP 3; 2-  làm VTPT của d Þ - - - = Û - - = d x y x y : 3 1 2 1 0 3 2 1 0     . Ví dụ 4. Một đường thẳng đi qua điểm M 5; 3-  cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của AB . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đó. Lời giải Giả sử A a =  ;0, B b = 0;  . Vì M 5; 3-  là trung điểm của AB nên 0 5 2 10 0 6 3 2 a a b b ì + = ï ì = í í Þ ï + = - î - = î Phương trình của đường thẳng đi qua A, B là 1 10 6 x y + = - hay 3 5 30 0 x y - - = . Ví dụ 5: Cho tam giác ABC biết A B C (2;0 , 0;4 , (1;3) ) ( ) . Viết phương trình tổng quát của a) Đường cao AH b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC . c) Đường thẳng AB . d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB . Lời giải a) Vì AH BC ^ nên BC uuur là vectơ pháp tuyến của AH Ta có BC (1; 1 - ) uuur suy ra đường cao AH đi qua A và nhận BC uuur là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là 1. 2 1. 0 0 (x y - - - = ) ( ) hay x y - - =2 0 .
b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận vectơ BC uuur làm vectơ pháp tuyến. Gọi I là trung điểm BC khi đó 1 7 1 7 , ; 2 2 2 2 2 2 B C B C I I x x y y x y I + + æ ö = = = = Þ ç ÷ è ø Suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực BC là 1 7 1. 1. 0 2 2 x y æ ö æ ö ç ç - - - = ÷ ÷ è ø è ø hay x y - + =3 0 c) Phương trình tổng quát của đường thẳng AB có dạng 1 2 4 x y + = hay 2 4 0 x y + - = . d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT là n (2;1) ur do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng AB nên nhận n (2;1) ur làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là 2. 1 1. 3 0 (x y - + - = ) ( ) hay 2 5 0 x y + - = . Cách 2: Đường thẳng D song song với đường thẳng AB có dạng 2 0 x y c + + = . Điểm C thuộc D suy ra 2.1 3 0 5 + + = Þ = - c c . Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là 2 5 0 x y + - = . Ví dụ 6: Cho đường thẳng d x y : 2 3 0 - + = và điểm M (-1;2). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng D biết: a) D đi qua điểm M và có hệ số góc k = 3 b) D đi qua M và vuông góc với đường thẳng d c) D đối xứng với đường thẳng d qua M Lời giải: a) Đường thẳng D có hệ số góc k = 3 có phương trình dạng y x m = + 3 . Mặt khác M m m Î D Þ = - + Þ = 2 3. 1 5 ( ) Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng D là y x = + 3 5 hay 3 5 0 x y - + = . b) Ta có 1 3 2 3 0 2 2 x y y x - + = Û = + do đó hệ số góc của đường thẳng d là 1 2 d k = . Vì D ^ d nên hệ số góc của D là kD thì . 1 2 d k k k D D = - Þ = - Do đó D = - + : 2 y x m , M m m Î D Þ = - - + Þ = - 2 2. 1 2 ( ) Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng D là y x = - - 2 2 hay 2 2 0 x y + + = . c) Cách 1: Ta có - - + 1 1 2.2 3 0 do đó M d Ï vì vậy đường thẳng D đối xứng với đường thẳng d qua M sẽ song song với đường thẳng d suy ra đường thẳng D có VTPT là n (1; 2 - ) ur . Ta có A d (1;2) Î , gọi A' đối xứng với A qua M khi đó A' Î D