Tiêu đề Đề Thi Olympic Tháng 4 TP HCM 2016-2017 (Khối 10) [Đáp Án].pdf ✅

ĐÁP ÁN Bài 1. (6 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau: a/ 2 2 2 9 2 1 4 x x x x x (*) TH1: 2 2 2 9 2 1 4 x x x x x (không thỏa (*)) (0,5đ) TH2: 2 2 2 9 2 1 x x x x (*) 2 2 2 8 4 2 9 2 1 x x x x x x (0,5đ) 2 2 2 9 2 1 2 x x x x (0,5đ) 2 2 2 9 2 1 2 x x x x 2 2 2 2 9 2 5 4 2 1 x x x x x x 2 2 2 1 2 x x x (0,5đ) 2 7 8 0 ( 2) x x x (0,5đ) 8 0 7 x x (0,5đ) b/ 3 3 3 3 8 2 2 6 x y x xy x 3 3 3 3 8 2 3 (2 3 ) 8 ( 2) 6 6 2 y x y x x y y x (0,5đ) Đặt 2 t x ta có hệ tương đương 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3( ) ( ) 0 2 3 2 3 2 3 y t y t y t y t y t t y t y (1,5đ) 3 1 2 1 2 2 3 1 2 2 1 y t y y y y t y t t x x (1đ) Bài 2. (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2 ( ): 2 4 5 0 C x y x y và điểm A C (0; 1) ( ) . Tìm toạ độ các điểm BC, thuộc đường tròn ( ) C sao cho ABC là tam giác đều. Giải Đường tròn ( ) C có tâm I(1;2) và bán kính R 10 Gọi D là điểm đối xứng với A qua I , suy ra D(2;5) (0,5đ) Dễ dàng chứng minh rằng BC, nằm trên đường trung trực của ID (0,5đ) C B H D I A
Đường thẳng BC đi qua trung điểm 3 7 ( ; ) 2 2 H của ID và có vtpt ID (1;3) có phương trình: 3 7 ( ) 3( ) 0 3 12 0 2 2 x y x y (1đ) Tọa độ BC, là nghiệm của hệ 2 2 3 3 3 3 3 3 3 12 0 2 2 2 4 5 0 7 3 7 3 2 2 x x x y x y x y y y Vậy 3 3 3 7 3 3 3 3 7 3 ; , ; 2 2 2 2 B C (0,5đ) Hoặc 3 3 3 7 3 3 3 3 7 3 ; , ; 2 2 2 2 C B (0,5đ) Bài 3. (3 điểm) Cho x y, 0 và x y 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 12 32 P x x y . Giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương, ta được: 4 4 12 x x x 2 . 4 3 12 x x x (1) (0,5đ) 16 16 32 y y y 2 . 8 2 16 y y y (2) (0,5đ) Mặt khác từ giả thiết x y 6 ta suy ra 2 2 12 x y (3) (0,5đ) Cộng vế với vế (1), (2),(3) ta được 12 32 P x 16 x y (0,5đ) Dấu “=” xảy ra khi x y 2, 4 (0,5đ) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 16. (0,5đ) Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM . Gọi O I, lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác. Chứng minh rằng: AM vuông góc với OI khi và chỉ khi 2 1 1 BC AB AC . Giải
Gọi AB c BC a CA b , , , p là nửa chu vi tam giác ABC; ( ; ) O R là đường tròn ngoại tiếp; ( ; ) I r là đường tròn nội tiếp; M là trung điểm BC ; D E F , , lần lượt là tiếp điểm của ()I với BC CA AB , , . Ta dễ dàng chứng minh: OM BC , ID BC ,IE AC ,IF AB AF AE p a ,BF BD p b (1đ) Ta có: 2 2 2 2 AM OI AO AI MO MI (0,5đ) 2 2 2 2 2 2 2 AO AF FI OC MC ID DM ( ) ( ) ( ) (0,5đ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 a a R p a r R r p b (0,5đ) 2 2 2 ( ) ( ) 4 4 a b c p a 2 2 2 ( ) ( ) b c a a b c 2 2 2 2 2 2 b c a bc ab ac a b bc c 2 2 2 2 2bc ab ac 2 1 1 a c b (0,5đ) Bài 5. (2 điểm) Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Archimedes đã tìm ra định luật về lực đẩy khi đang ngâm mình trong bồn tắm. Nhờ lực đẩy này, trọng lượng của một vật sẽ giảm đi khi ở trong nước. Biết rằng vàng nguyên chất trở nên nhẹ hơn 1 20 lần và bạc nguyên chất trở nên nhẹ hơn 1 10 lần khi ở trong nước. Nếu một chiếc vương miện nặng 0,9kg (chỉ gồm vàng và bạc) và trở nên nhẹ hơn 1 18 lần khi ở trong nước, hỏi có bao nhiêu bạc trong vương miện? E F D I M O A B C