17 ∑ thi Olympic n ́m 2019 Ngày thi th ̆ nhßt (11/05/2019). Bài 1. Tìm tßt c£ các sË nguyên d ̃Ïng n sao cho n3 là ̃Óc cıa 3n 1. Bài 2. VÓi k nguyên d ̃Ïng, cho dãy sË (un) xác ‡nh bi 8 < : u1 = k, un+1 = (n + 2)un 2k + 4 n , 8n 1 . Ch ̆ng minh r ̈ng tÁn t§i sË nguyên d ̃Ïng k ∫ trong dãy sË ã cho có úng 2019 sË h§ng là sË chính ph ̃Ïng. Bài 3. Cho tam giác ABC, xét i∫m P n ̈m trong tam giác sao cho \BPC = \CPA = \AP B. Các ̃Ìng thØng PB,PC theo th ̆ t ̧ c≠t AC, AB E, F. GÂi D là i∫m di Îng trên c§nh BC. ̃Ìng thØng DF, AC c≠t nhau M, ̃Ìng thØng DE, AB c≠t nhau N. a) Ch ̆ng minh r ̈ng sË o góc \MPN không Íi khi D di Îng. b) GÂi Q là giao i∫m cıa EF,MN. Ch ̆ng minh r ̈ng P Q là phân giác cıa góc \MPN. Bài 4. Ch ̆ng minh r ̈ng vÓi mÂi sË th ̧c d ̃Ïng a, b, c, ta luôn có a b + b c + c a + 3 2 · ab + bc + ca a2 + b2 + c2 9 2 . 18 CH◊ÃNG 1. BÀ ó THI HSGSO 2014 2019 Ngày thi th ̆ hai (12/05/2019). Bài 5. Tìm tßt c£ các a th ̆c ha sË th ̧c P(x) sao cho P(x3 + x2 + 1) = P(x + 2)P(x2 + 1), vÓi mÂi x 2 R. Bài 6. Cho ngÙ giác lÁi ABCDE nÎi ti∏p trong ̃Ìng tròn (O) vÓi ̃Ìng kính AD, ngoài ra EA = ED. D ̧ng ra ngoài ngÙ giác ã cho tam giác BCF vuông cân t§i F, và hai hình vuông ABMN, CDP Q. Gi£ s ̊ hai ̃Ìng thØng MQ, NP c≠t nhau R. GÂi S, T l¶n l ̃Òt là trung i∫m MQ, OS. Ch ̆ng minh r ̈ng RT?EF. Bài 7. MÎt khu v ̧c quËc t∏ có 512 sân bay. MÈi sân bay ∑u có th∫ tr ̧c ti∏p tÓi ít nhßt 5 sân bay khác. Bi∏t r ̈ng ta có th∫ i t ̄ bßt k ̋ sân bay nào ∏n bßt k ̋ sân bay khác thông qua mÎt ho∞c nhi∑u chuy∏n bay tr ̧c ti∏p. VÓi mÈi c∞p hai sân bay, ta xét tuy∏n ̃Ìng ng≠n nhßt nËi gi ̇a chúng, t ̆c là tuy∏n ̃Ìng gÁm sË l ̃Òng ít nhßt các ̃Ìng bay tr ̧c ti∏p gi ̇a hai sân bay này. H‰i sË l ̃Òng ̃Ìng bay tr ̧c ti∏p lÓn nhßt có th∫ có trong mÎt tuy∏n ̃Ìng ng≠n nhßt gi ̇a hai sân bay nào ó là bao nhiêu?
52 CH◊ÃNG 2. LÕI GIÉI ó HSGSO 2014 2019 hay [2m (2n + 1)] [2m + (2n + 1)] = 4k 9. Ta thßy n∏u 4k 9 = a · b vÓi a, b là các sË nguyên d ̃Ïng nào ó và a
English