Title PHẦN III. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN, THI CHỌN HỌC SINH GIỎI, TUYỂN SINH 10 THPT, THPT CHUYÊN.doc ✅

Trang 1 PHẦN III: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN, THI CHỌN HỌC SINH GIỎI, THI TUYỂN SINH 10 THPT VÀ THPT CHUYÊN. Bài 1: Chứng minh rằng trong tất cả các tam giác nội tiếp một đường tròn cho trước, tam giác có tổng bình phương độ dài các cạnh lớn nhất là một tam giác đều. (Đề kiểm tra học sinh giỏi toán 9, quận 1, Tp. Hồ Chí Minh năm học 2017 – 2018) HƯỚNG DẪN GIẢI * Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) cho trước. Vẽ OMBC tại M. Ta có: MBMC . Đặt OMx MBO vuông tại M 222OMBMOB Nên 222BC4(Rx) Chứng minh được: 2 222BC ABAC2AM 2 * Xét 3 điểm A, O, M ta có AMOMOAxR Do đó 222222233 ABACBC2AMBC2(xR).4(Rx) 22 2 2222R 4(xRx2R)4x9R9R 2     Dấu “=” xảy ra       O n»m gi÷a A, M R x0 2 ·o ABAC ABC BAC60      đều Vậy trong tất cả các tam giác nội tiếp một đường tròn cho trước, tam giác có tổng bình phương độ dài các cạnh lớn nhất là một tam giác đều. Bài 2: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB2R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM. HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Ta có: MHMOR Vẽ đường thẳng qua A và song song với CD cắt BD tại E Ta có: ACAB ; DBABAC//DB Tứ giác ACDE có AC//DE ; CD//AE nên là hình bình hành CDAE Mà AEAB2R ; CACM ; DBDM 2 ABCD 11 S(ACBD).AB(CDDM).2RR.CDR.2R2R 22 và 2 MAB 1 SMH.ABR.MHR.RR 2 Do đó: 22 ABCDMABACMBDMSSRSSR Dấu “=” xảy ra EB , HO M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) Vậy GTNN của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM là 2R Bài 3: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. M là điểm trên nửa đường tròn. Xác định vị trí của điểm M để: a) Diện tích MAB lớn nhất b) Chu vi tam giác MAB lớn nhất HƯỚNG DẪN GIẢI


Trang 4 22 22RR3R OIOIIE 244 3 IERDE3R 2 . Do vậy 2 ODCE 3 SR 2 . Dấu “=” xảy ra khi CHCO C là điểm chính giữa cung AB. Bài 10: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R) và M là một điểm của cung nhỏ BC. Trên MA lấy điểm D sao cho MDMB . a) Chứng minh BDABMC b) Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tổng MAMBMC đạt giá trị lớn nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI a) MBD cân tại M có góc ··o BMDBCA60 nên là tam giác đều Ta có: ¶¶¶¶ ¶¶o132313BBBB60BB * Xét hai tam giác BDA và BMC có BABC ; ¶¶ 13BB ; BDBM nên BDABMC (c.g.c) b) BDABMC (c.g.c) DBMBMD , DAMC Do đó: MAMBMC2.MA Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O  A’ cố định (vì A, O cố định) Ta có: MAMBMC2.MA2.AA'4R : không đổi Dấu “=” xảy ra MAA'AMA' Vậy tổng MAMBMC đạt GTLN là 4R M đối xứng với A qua O. Bài 11: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB2R . Kẻ tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại M cắt Ax tại D cắt By tại E. Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho a) ADBE đạt giá trị nhỏ nhất b) OD.OE đạt giá trị nhỏ nhất HƯỚNG DẪN GIẢI a) Vẽ DHBy tại H. Tứ giác ADHB là hình chữ nhật DHAB2R Ta có: ADMD , BEME Do đó: ADBEMDME DEDH2R : không đổi Dấu “=” xảy ra  E trùng H DE//AB  M là điểm chính giữa của cung AB b) Ta chứng minh được ·o EOD90 2 OD.OEOM.DER.DER.AB2R : không đổi Dấu “=” xảy ra  M là điểm chính giữa của cung AB Bài 12: Cho nửa đường tròn (O) đướng kính AB2R . Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thư ba cắt Ax, By tại E và F. Vẽ MH vuông góc với AB, MH cắt EB tại K. a) Chứng minh KMKH b) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF. Chứng minh 1r1 3R2 HƯỚNG DẪN GIẢI