Title Chuyên đề 5. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI.doc ✅

Chuyên đề 5. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI A. Kiến thức cần nhớ Trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị thì bất đẳng thức Cô-si được ví như viên kim cương bởi tính ưu việt trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác cũng như tìm cực trị. Trong chương trình THCS chủ yếu là vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Do vậy trong chuyên đề này sẽ chỉ nêu ứng dụng trong việc giải các bài toán bằng việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. • Bất đẳng thức Cô-si: cho hai số x, y không âm, ta có: 2 xy xy  hoặc 2 xy xy  Dấu bằng chỉ xảy ra khi .xy Bất đẳng thức Cô-si còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM). B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, ta có: 435223abcabbcca Đẳng thức xảy ra khi nào? (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Gia Lai, năm học 2007-2008) Giải Tìm cách giải. Nhận thấy vế phải xuất hiện 23,abbcca do vậy rất tự nhiên chúng ta nghĩ tới việc dùng bất đẳng thức Cô-si. Vấn đề còn lại là tách vế trái thành những hạng tử thích hợp nhằm khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si thì lần lượt xuất hiện các hạng tử vế phải. Trình bày lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:    2 1 224 2 336 3 abab bcbc acca    Từ ( 1 ), (2) và (3) cộng vế với vế ta được: 435223abcabbcca Đẳng thức xảy ra khi .abc Ví dụ 2: Cho 1.20193.20175.2015...2019.1.S So sánh S với 21010 Giải Tìm cách giải. Nhận thấy các hạng tử trong tổng S, thì 1201932017...20191 và bằng 2.1010. Nhằm xuất hiện tổng giống nhau đó và cũng liên quan tới số 1010, chúng ta nghĩ tới việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si dạng 2xyxy  Trình bày lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 2xyxy  Suy ra 12019320175201520191 ... 2222S  2 101010101010..10110.100SS Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh: 222 12 111 abc bca  Giải Tìm cách giải. Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế phải là tổng ba hạng tử dương có chứa mẫu số, còn vế trái là một số thực. Do vậy chúng ta cần chọn một hạng tử thích hợp để khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si khử mẫu các hạng tử vế trái, chẳng hạn: 2212..14, 11 aa bba bb  và chọn 4 ! Trình bày lời giải


721721 2.14 33 33 2.2 33 bb bb aa ab   Mà 3;3ab nên 11262 213142.3.380 33ab ba     Dấu bằng xảy ra khi 3ab Ví dụ 7: Cho x; y; z là các số dương Chứng minh rằng 2xyz yzzxxy  Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:   12 2xyzxyz xyzxyz  21xx yzxyz  Tương tự ta có: 22yy xzxyz  23zz xyxyz  Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế, ta được 2xyz yzzxxy  Đẳng thức xảy ra khi xyz yzx zxy       cộng lại ta có 0xyz Điều này không xảy ra vì ,,0xyz Ví dụ 8: Cho các số thực x; y; z thỏa mãn: 2223 111 2xyyzzx Chứng minh rằng: 2223 2xyz (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2005 – 2006) Giải Tìm cách giải. Bài toán không có bóng dáng của bất đẳng thức hay cực trị đại số. Tuy nhiên quan sát kỹ phần kết luận (các phần biến có mũ 2), phần giả thiết có căn bậc hai và chỉ cần áp dụng bất đẳng thức Cô-si một lần cho mỗi hạng tử cũng xuất hiện phần biến mũ 2. Với suy luận tự nhiên như vậy bất đẳng thức Cô-si cho lời giải đẹp. Trình bày lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:    22 2 22 2 22 2 1 11 2 1 12 2 1 13 2 xy xy yz yz zx zx      