Title CHUYÊN ĐỀ 04. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (39 câu Trắc Nghiệm 4LC).docx ✅

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 4: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau: Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB→ . Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là ,,,,abxy→→→→ Độ dài của vectơ AB→ được kí hiệu là AB→ , độ dài của vectơ â được kí hiệu là |â|. Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ a→ và b→ được gọi là bằng nhau, kí hiệu ab→→ , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian: Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ ả cho trước, có duy nhất điểm M sao cho OMa→ → . Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như ,,AABB→→ gọi là các vectơ -không. Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0,cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0→ . II. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN a) Tổng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ a→ và b→ . Lấy một điểm A bất kì và các điểm ,BC sao cho ,ABaBCb→→→ → . Khi đó, vectơ AC→ được gọi là tổng của hai vectơ a→ và b→ , kí hiệu là ab→→ . Tức là:   ,,ABCABBCAC→→→ . Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chát sau: Tính chất giao hoán: Nếu a→ và b→ là hai vectơ bất kì thì abba→→→→ . Tính chất kết hợp: Nếu ,ab→ → và c→ là ba vectơ bât kì thì abcabc→→→→→→ .
Tính chất cộng với vectơ 0→ : Nếu a→ là một vectơ bất kì thì 00aaa→→→→→ . Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ ,ab→ → và c→ là abc→→→ mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian. Cho hình bình hành  . Khi đó, ta có .ABCDABADAC→→→ Cho hình hộp  .. Khi đó, ta có .ABCDABCDABADAAAC→→→→ b) Hiệu của hai vectơ trong không gian Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ ả được gọi là vectơ đối của vectơ a→ , kí hiệu là a→ . Chú ý: Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng 0→ . Vectơ BA→ là một vectơ đối của vectơ AB→ . Vectơ 0 được coi là vectơ đối của chính nó. Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong không gian: Vectơ ab→→ được gọi là hiệu của hai vectơ a→ và b→ và kí hiệu là ab→→ . Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. Quy tắc trừ:   ,,ABCABACCB→→→ . III. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian, tích của một số thực 0k với một vectơ 0a→→ là một vectơ, kí hiệu là ka→ , được xác định như sau: Cùng hướng với vectơ a nếu 0k ; ngược hướng với vectơ a→ nếu 0k ; Có độ dài bằng ka→ . Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ. Chú ý: Quy ước 0ka→→ nếu 0k hoặc 0a→→ . Nếu 0ka→→ thì 0k hoặc 0a→→ . Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ a→ và 0bb→→→ cùng phương là có một số thực k sao cho akb→→ . Chú ý: Tương tự như phép nhân một số với một vectơ trong mặt phẳng, phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau: Tính chất kết hợp: Nếu ,hk là hai số thực và a→ là một vectơ bất kì thì  hkahka→→ . Tính chất phân phối: Nếu ,hk là hai số thực và ,ab→ → là hai vectơ bất kì thì hkahaka→→→ và kabkakb→→→→ . Tính chất nhân với 1 và -1: Nếu a→ là một vectơ bất kì thì 1aa→→ và 1aa→→ . Chú ý: Tương tự như trong mặt phẳng, nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với điểm O tuỳ ý, ta có 3OAOBOCOG→→→→ IV. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
a) Góc giữa hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ ,ab→ → khác 0→ . Lấy một điểm O bất kì và gọi ,AB là hai điểm sao cho ,OAaOBb→→→ → . Khi đó, góc  0180AOBAOB∘∘ được gọi là góc giữa hai vectơ a→ và b→ , kí hiệu là ,ab→→ . Chú ý: Để xác định góc giữa hai vectơ AB→ và CD→ trong không gian ta có thể lấy điểm E sao cho AECD→→ , khi đó ,H.2.23ABCDBAE→→ . Quy ước góc giữa một vectơ bất kì và 0 có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ 0∘ đến 180∘ . b) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ ,ab→ → đều khác 0→ . Tích vô hướng của hai vectơ a→ và b→ là một số, kí hiệu là ab→→ , được xác định bởi công thức: cos,. ababab→→→→→→ Chú ý: Quy ước nếu 0a→→ hoặc 0b→→ thì 0ab→→ . Cho hai vectơ ,ab→ → đều khác 0→ . Khi đó: 0abab→→→→ . Với mọi vectơ a→ , ta có 22||aa→→ . Nếu ,ab→ → là hai vectơ khác 0→ thì cos,abab ab    → → → → → → .
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN ,ab cùng hướng Định nghĩa ab Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. ab Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng Một số hệ thức vectơ trọng tâm Các phép toán vectơ ,ab ngược hướng I là trọng tâm của hệ n điểm 12;;...;nAAA 12...0nIAIAIA ,ab đối nhau ab ABAB Quy tắc 3 điểm: ABBCAC ,ab không cùng phương thì ,ab và c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số ;mn sao cho cmanb Phép trừ: OBOAAB Nếu ABCD là hình bình hành thì ABADAC Nếu .ABCDABCD là hình hộp thì ACABADAA Sự đồng đẳng của ba vectơ Câu 1: Cho hình hộp .ABCDABCD . Gọi ,IJ lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. AICJ→→ . B. DAIJ→→ . C. BIDJ→→ . D. AIJC→→ . Câu 2: Cho hình lập phương .''''ABCDABCD . Mệnh đề nào sau đây sai? A. ''ABADAAAC→→→→ . B. ACABAD→→→ . C. ABCD→→ . D. ABCD→→ . Câu 3: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai? A. 0GAGBGCGD→→→→→ . B. 1 4OGOAOBOCOD→→→→→ . C. 2 3AGABACAD→→→→ . D. 1 4AGABACAD→→→→ . Câu 4: Cho tứ diện ABCD , gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; Đẳng thức nào sai? A. 1 2IJACBD→→→ . B. 1 2IJADBC→→→ . C. 1 2IJDCADBD→→→→ . D. 1 2IJABCD→→→ .