Title Chuyên đề 16. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM.doc ✅

Chương 4. HÀM SỐ 20YAXA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Chuyên đề 16. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa. Phương trình bậc hai có một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: 2 0axbxc trong đó x : ẩn số. ,,0abca : là hệ số 2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Xét phương trình 200axbxca và biệt thức 24bac  Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 12; 22 bb xx aa    Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép: 122 b xx a  Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm Chú ý: Nếu phương trình 200axbxca có a và c trái dấu tức là 0ac thì 240bac . Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt. 3. Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình 200axbxca và 22,bbbac  Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 12;bb xx aa    Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép: 12 b xx a    Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hai số thực ;ab không âm thỏa mãn 184.2013ab . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 218467190axbxa (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Nam, Năm học 2012 – 2013) Giải Tìm cách giải. Để chứng minh phương trình 20axbxc luôn có nghiệm, nếu chưa có điều kiện gì của a . Ta cần xét hai trường hợp: Trường hợp 1. Xét 0a , chứng tỏ phương trình 0bxc có nghiệm Trường hợp 2. Xét 0a , chứng tỏ 0 (hoặc 0 ) Trình bày lời giải  Xét 0a , từ giả thuyết suy ra 420130bb nên phương trình 467190bxa luôn có nghiệm  Xét 0a Ta có: 2224186719412078162baabaa 222246.201316246184162baabaaba 22224245426180bababaa Suy ra phương trình luôn có nghiệm Ví dụ 2: Cho hai phương trình bậc hai 20xaxb và 20xcxd . Trong đó 2acbd . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm Giải

(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Phú Yên năm học 2012 – 2013) Giải Trường hợp 1: Nếu 0x thì 0y (hoặc ngược lại) suy ra 1P Trường hợp 2: Xét 0;y0x Chia hai vế của (1) cho 10061006 .xy ta được: 10061006 2xy xy yx     Đặt 10061006 21 .20xy txtty yxt     Đây là phương trình bậc hai đối với t . Xét 1xy Để tồn tại ;xy tức là tồn tại t thì 010;0xyP Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0 khi t là nghiệm kép của phương trình 1006 20121111 10x xyxtx yxyxx     11xy Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0. Khi 1xy C. Bài tập vận dụng 16.1. Cho phương trình 2420xabxab (1) ( ;ab là tham số) a) Giải phương trình (1) với 1;2ab b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi ;ab Hướng dẫn giải – đáp số a) Với 1;2ab phương trình có dạng: 2421220xxx Xét 221242120  12 12121212 21 ; 4242  xx b) Xét 2240ababab với mọi ;ab Vậy phương trình luôn có nghiệm 16.2. Cho ,,,abcd là các số thực 221ab . Chứng minh rằng phương trình: 2222212110abxacbdxcd luôn có hai nghiệm. (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2004 – 2005) Hướng dẫn giải – đáp số Xét 22222111acbdabcd (*) + Do 2222110abab Nếu 22221100cdcd Nếu 221cd . Đặt 22221;1uabvcd (Điều kiện 01;01uv ) Xét 242224acbduv 22222224abupdvacbduv 22222440 acbduvuvuvuvuv 0 . Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm 16.3. Cho phương trình 2 10axbx với ;ab là các số hữu tỉ. Tìm ;ab biết 53 53x   là nghiệm của phương trình