Title BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC.pdf ✅

BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Chúng ta đã biết cách giải phương trình bậc hai. Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn và một số phương trình đã thức bậc cao. Về mặt ý tưởng, để giải bất kì một phương trình đại số nào ta cũng tìm cách chuyền về phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc hai. Sau đây, chúng ta sẽ đi xét cách giải một số phương trình bậc ba đặc biệt. 1. Phương trình bậc ba Là phương trình có dạng: (1.1). 3 2 ax  bx  cx  d  0,a  0 Để giải phương trình (1.1) ta đi tìm một nghiệm của phương trình và biến đổi phương trình về dạng: 0 x  x    (1.2). 2 0 x  x ax  bx  c  0 Việc giải phương trình (1.2) đưa về giải phương trình bậc hai 2 ax  bx  c  0. Mấu chốt của việc giải phương trình bậc ba là phải tìm được một nghiệm của phương trình. Khi tìm nghiệm của phương trình ta cần chú ý: Chú ý: +) Nếu là các a, b,c,d số nguyên và là x nghiệm hữu tỉ của (1.1) thì là ước của và là ước của m n  m d n a . Đặc biệt khi thì a 1 phương trình (1.1) nếu có nghiệm hữu tỉ thì đó là nguyên và là ước của . d +) Nếu thì a  b  c  d  0 phương trình (1.1) có nghiệm . x 1 +) Nếu thì a  b  c  d  0 phương trình (1.1) có nghiệm . x  1 Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 1) ; 2) ; 3) . 3 x  3x  2  0 3 2 2x  3x 1  0 3 2 x  2x  3x  6  0 Hướng dẫn giải 1) Ta thấy nên a  b  c  d 1 0  3 2  0 phương trình đã cho có nghiệm x 1. Phương trình    2 2 1 1 1 2 0 . 2 0 2 x x x x x x x x                     Vậy tập nghiệm của phương trình là S  2;1. 2) Ta thấy nên a  b  c  d  2  3 0 1  0 phương trình có nghiệm x  1. Phương trình    2 2 1 1 1 2 1 0 1 . 2 1 0 2 x x x x x x x x                       Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 1; . 2 S        3) Ta có nên ta d  6 nhẩm các giá trị là x ước của 6, ta thấy là x  2 một nghiệm của phương trình. Phương trình    2  x  2 x  3  0  x  2. Vậy tập nghiệm của phương trình là S  2.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 1) 2) 3 8x  4x 1  0; 3 2 6x 10x  5x  6  0; 3) 3 2 x  2x  5x  2  0. Hướng dẫn giải 1) Ta có nên ta a  8, d 1 nhẩm các nghiệm có dạng với là ước của 8, ta thấy là nghiệm của 1 m m 1 2 x  phương trình. Phương trình    2 2 1 2 1 4 2 1 0 2 4 2 1 0 x x x x x x               1 2 1 5 4 x x         Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 1 5 ; . 2 4 S          2) Ta có nên ta a  d  6 nhẩm các nghiệm có dạng với là ước của 6. m x n  m,n Ta thấy là nghiệm của phương trình. 2 3 x  Phương trình    2 2 2 2 3 3 2 2 2 3 0 3 . 1 7 2 2 3 0 2 x x x x x x x x                        Vậy tập nghiệm của phương trình là 2 1 7 ; . 3 2 S         3) Vì các hệ số xuất hiện nên ta 2 nhẩm nghiệm có dạng Thay vào x  a 2. phương trình ta có 3 2 2a 2  2a 2  5a 2  2  0 (*) 3 2  2a  2a  5a 1  0 Vì tổng các hệ số của (*) bằng 0 nên (*) có nghiệm hay a 1 phương trình đã cho có nghiệm x  2. Phương trình    2  x  2 x  2 2x 1  0 2 2 2 . 2 2 1 0 2 3 x x x x x                 Vậy tập nghiệm của phương trình là S   2; 2  3.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: 1) 2) 3 2 x  3x  3x  4  0; 3 2 3x  3x  9x 1  0. Hướng dẫn giải 1) Nhẩm các nghiệm x  a với là a ước của 4, ta thấy phương trình không có nghiệm nguyên. Ta thấy các hệ số xuất hiện 1, -3, 3 nên ta nghĩ đến hằng đẳng thức   3 3 2 x 1  x  3x  3x 1. Do đó, ta biến đổi phương trình như sau:   3 2 x  3x  3x 1  3  0   3 3 3  x 1  3  x 1  3  x 1 3. Vậy tập nghiệm của phương trình là   3 S  1 3 . 2) Bằng cách nhẩm nghiệm, ta thấy phương trình đã cho không có nghiệm hữu tỉ. Ta biến đổi phương trình như sau:   3 2 3 2 x  3x  3x 1 2 x  3x  3x 1  0         3 3 3 3  x 1  2 x 1  0  x 1  2 1 x   3 3 3 2 1 1 2 1 . 2 1 x x x         Vậy tập nghiệm của phương trình là 3 3 2 1 . 2 1 S          Phương trình bậc ba dạng tổng quát đã đưuọc giải quyết trọn vẹn (xem bài đọc thêm). 2. Phương trình bậc bốn Là phương trình có dạng (2.1). 4 3 2 ax  bx  cx  dx  e  0,a  0 Để giải phương trình (2.1), ta thường dùng phương pháp phân tích thành tích của hai tam thức bậc hai hoặc đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình bậc hai. Trước hết ta đi xét một số dạng phương trình bốn ẩn đặc biệt. Dạng 1: Phương trình trùng phương: (2.2).   4 2 ax  bx  c  0 a  0 Với dạng này ta đặt và chuyển về phương trình: 2 t  x ,t  0 (2.3) 2 at  bt  c  0 Chú ý: Số nghiệm của phương trình (2.2) phụ thuộc vào số nghiệm không âm của phương trình (2.3). Dạng 2: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy):   4 3 2 2 ax  bx  cx  kbx  k a  0 k  0 . Với dạng này ta chia hai vế của phương trình cho ta có   phương trình: 2 x x  0 2 2 2 0. k k a x b x c x x                 
Đặt với , ta có: , thay vào phương trình trên ta được: k t x x   t  2 k 2 2 2 2 2 2 2 k k x x k t k x x               2 a t  2k  bt  c  0 Dạng 3: Phương trình , trong  x  a x  b x  c x  d   e đó a  b  c  d. Phương trình     2 2  x  a  b x  ab.x  c  d x  cd   e.     Đặt ta   được: 2 t  x  a  b x; t  abt  cd   e. Dạng 4; Phương trình , trong      đó 2 x  a x  b x  c x  d  ex ab  cd. Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho   2 x x  0 . Phương trình     2 2 2  x  a  b x  ab.x  c  d x  cd   ex     . . ab cd x a b x c d e x x                     Đặt . ab cd t x x x x     Ta có phương trình: t  a  bt  c  d   e Dạng 5: Phương trình     4 4 x  a  x  b  c. Đặt rồi đưa về phương trình trùng phương. 2 a b x t    Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4 2 x 13x  36  0; 4 2 2x  3x  2  0; 4 2 x  5x  6  0. Hướng dẫn giải 1) Đặt ta có phương trình: 2 t  x ,t  0 hoặc . 2 t 13t  36  0  t  4 t  9 +) Với , ta có t  4 2 x  4  x  2 +) Với , ta có t  9 2 x  9  x  3 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  2,3. 2) Đặt ta có phương trình 2 t  x ,t  0 hoặc 2 2t  3t  2  0  t  2 1 . 2 t   ta loại nghiệm 1 . 2 t   Với , ta có t  2 2 x  2  x   2. Vậy tập nghiệm của phương trình là