Title Bài 20 Định lí Viète và ứng dụng.pdf ✅

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 1. Bài 20. ĐỊNH LÍ VI-ET VȦ ỨNG DỤNG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Định lí Vi-et. Nếu 1 2 x , x là hai nghiệm của phương trình   2 ax     bx c a 0 0 thì 1 2 1 2 . b x x a c x x a          2) Áp dụng định lí Vi-et để tính nhẩm nghiệm. Xét phương trình   2 ax bx c a     0 0 : *) Nếu abc    0 thì phương trình có một nghiệm là 1 x 1, còn nghiệm kia là 2 x c a  . *) Nếu a b c    0 thì phương trình có một nghiệm là 1 x 1 , còn nghiệm kia là 2 c x a   . 3) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: 2 x    Sx P 0 . Điều kiện đế có hai số đó là 2 S   4 0 P . B. PHÂN LOĄI CÁC BÀI TẬP I. Biểu thức đối xứng với các nghiệm   2 2 3 3 4 4 1 2 1 2 1 2 x x x x x x  ; ; Bài 1. Cho phương trình 2 x x    10 0 . Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x; và tính 2 2 1 2 x x  . Hướng dẫn: a c ac      1; 10 0  phương trình có hai nghiệm phân biệt.   2 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 2     Lời giải Ta có: a c ac       1; 10 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: Ta có ac c 0 0 a    mà 1 2 1 2 x 0 c x a x x    . Vậy khi a và c trái dấu thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt và trái dấu (chẳng hạn: 1 2 x x   0 ). Biểu thức 1 2 2 2 x  x không thay đổi khi ta thay 1 x bởi 2 x và ngược lại, gọi là biếu thức đối xứng của 1 x và 2 x . Bạn cần nhớ một vài công thức sau: 1 2 S x x     2 2 2 2 1 2 1 2 1 2        x x x x x x S P 2 2 (biểu thị qua tổng và tích các nghiệm)
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 2.    3 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2  x x x x x x x x          2 1 2 1 2 1 2     x x x x x x   3     2 3     S S P S SP . 3 3   2 4 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2  x x x x x x     2   2 2 2 2 1 2 1 2 1 2       x x x x x x 2 2   2 2 2      S P P 2 2     2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2  x x x x x x x x       2   2 1 2 1 2    x x x x 4 2   S P4 Bài 2. Cho phương trình 2 2 3 6 0 x x    . Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x; . Tính 2 2 1 2 x x  và 3 3 1 2 x x  . Hướng dẫn: Xem nhận xét ở Bài 1. Lời giải Ta có: a c ac        2; 6 12 0 . Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) 1 2 x x; . Theo định lí Vi-et, ta có: 1 2 1 2 3 6 ; 3 2 2 x x x x       Vậy     2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 33 2 2 3 2 4 x x x x x x               .      2 2 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 3 33 135 3 2 4 8 x x x x x x x x               Cách khác: Ta cũng có:       3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 135 3 3. 3 . 2 2 8 x x x x x x x x                . Bài 3. Cho phương trình 2 x x    6 8 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức 2 2 1 2 1 2 M x x x x    3 , với 1 2 x x; là hai nghiệm của phương trình. Hướng dẫn: Chứng minh phương trình có nghiệm. Ta có:   2 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x     2 Lời giải Ta có a b b       1; 6 ' 3 . Δ 9 8 1 0      . Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi-et, ta có: x x 1 2   6 1  và x x 1 2   8 2  Vậy   2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 5 M x x x x M x x x x        (3)
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 3. Từ (1); (2) và (3), ta có: M 6 5.8 36 40 4 2       Chú ý: Ta cần chứng tỏ phương trình có nghiệm 1 2 x ; x ; sau đó mới áp dụng định lí Vi-et. Bài 4. Cho phương trình 2 x x m    1 0 (*). a) Tìm m đế phương trình có hai nghiệm 1 2 x x; . b) Hãy tính 2 2 1 2 x x  theo m . Hướng dẫn: *) Phương trình đã cho có hai nghiệm 0 Δ 0 a      (không cần hai nghiệm phân biệt).   2 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x     2 Lời giải a) Phương trình (*) có hai nghiệm 1 2 x x, khi và chỉ khi:   0 1 0 5 5 4 m 0 m Δ 0 1 4 1. 1 0 4 a m                     b) Theo định lí Vi-et, ta có: 1 2 1 2 1 1 x x x x m        Vậy     2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 3 2 x x x x x x m m          Bài 5. Theo phương trình 2 3 2 6 0 x x    . Tính giá trị của biểu thức A   2 1 2 A  x  x ; trong đó 1 2 x x; là hai nghiệm của phương trình. Lời giải Ta có a b c     3; 2; 6  a c. 18 0     phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt (khác dấu) 1 2 x x, . Theo định lí Vi-et, ta có: 1 2 1 2 2 ; 2 3 x x x x      . Vậy     2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 76 2 4 4 2 3 9 A x x x x x x x x                   Nhận xét: Từ kết quả trên, ta có thể tìm được: 1 2 1 2 76 2 19 2 19 3 3 3 x x x x        Bài 6. Cho phương trình 2 3 7 4 0 x x    . Gọi 1 2 x x, là hai nghiệm của phương trình, hãy tính. a) A x x   1 2 b) 2 1 2 1 2 2 x x B x x   Hướng dẫn: 1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm. 2. Áp dụng định lí Vi-et, tính:     2 2 2 1 2 1 2 1 2 A x x x x x x      4 . Từ đó tính A.
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 4. Lời giải Ta có: a b c a c          3; 7; 4 . 12 0 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x; . Theo định lí Vi-et, ta có: 1 2 1 2 7 3 4 3 x x x x          . a) Ta có:   2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 A x x x x x x x x x x         2 4 2 7 4 97 97 4. . 3 3 9 3 A                   b) Ta có:     3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x 3 B x x x x       3 7 4 7 3 3 3 3 595 . 4 36 3                     Bài 7. Cho phương trình 2 x x m     2 2 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm 1 2 x x; thỏa mãn điều kiện 2 2 1 2 x x  10 . Hướng dẫn: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, áp dụng hệ thức Viète tính 2 2 1 2 x x  qua 1 2 x x  và 1 2 xx Lời giải Ta có: a b b c m         1; 2 1; 2  Phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2 x x; khi và chỉ khi     2            0 1 2 0 1 m m Theo hệ thức Viète, ta có 1 2 1 2 x x x x m     2; 2 Vậy   2 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x       10 2 10        4 2 2 10 2 10 m m     m 5 (thỏa điều kiện m  1 ) Đáp số: m  5 Cách khác: Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2 x x; . Theo hệ thức Viète, ta có: 1 2 1 2 x x x x m     2; 2 (Tương tự cách giải trên):   2 2 1 2 x x m m          10 4 2 2 10 5 Thử lại: Với m  5 ta có phương trình 2 x x    2 3 0 a b c ac           1; 2; 3 2 0 phương trình có hai nghiệm.