Title 10 bài TLN - Lý thuyết và xác định, chứng minh đẳng thức, độ dài vectơ.pdf ✅

Dạng 1: Xác định vectơ, chứng minh đẳng thức vectơ, độ dài vectơ Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 1: Trong không gian, cho hình lập phương ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ biết rằng AN AB k AA AD = - + - 4 2 ¢ uuur uuur uuur uuur k Ρ và AM AB AA AD = + - 2 3 ¢ uuuur uuur uuur uuur . Tìm giá trị k thích hợp để AN AM ^ uuur uuuur Câu 2: Trong không gian, cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình bình hành tâm O M, là điểm thay đổi trên SO . Tỉ số SM SO sao cho 2 2 2 2 2 P MS MA MB MC MD = + + + + nhỏ nhất là bao nhiêu? Câu 3: Trong không gian, cho tứ diện ABCD có các điểm M N P , , lần lượt thuộc các cạnh BC BD , và AC sao cho BC BM AC AP BD BN = = = 4 , 3 , 2 . Mặt phẳng MNP cắt đường thẳng AD tại điểm Q . Tính tỉ số AQ AD . Câu 4: Trong không gian, cho tứ diện S ABC . có SA SB SC AB AC BC = = = = = = 2, 2 2 . Hãy tính SC AB . uuur uuur . Câu 5: Trong không gian, cho tứ diện ABCD . Gọi E F, lần lượt là trung điểm của AB CD , . Cho AB a CD b EF c = = = 2 , 2 , 2 . Với M là một điểm tùy ý, biết tổng 2 2 2 2 MA MB k ME l a + = + . . . Tính k l + . Câu 6: Trong không gian, cho hình hộp ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ . Biết MA k MC = . uuur uuuur , NC l ND ¢ = . uuuur uuur . Khi MN song song với BD¢ thì k l + có giá trị là bao nhiêu? Câu 7: Trong không gian, cho hình hộp 1 1 1 1 ABCD A B C D . có 1 2 G G; lần lượt là trọng tâm tam giác BDA1 và CB D1 1 . Biết AC a AG bAG 1 1 2 = + uuuur uuuur uuuur . Tính a b + Câu 8: Cho hình chóp S ABC . với SA SB SC = = = 3, 4, 5. Một mặt phẳng a  thay đổi luôn đi qua trọng tâm của S ABC . cắt các cạnh SA SB SC , , tại các điểm 1 1 1 A B C , , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 1 1 1 P SA SB SC = + + . Câu 9: Trong không gian, cho hình lập phương ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ . Gọi N là điểm thỏa C N NB ¢ ¢ = 2 uuuur uuuur , M là trung điểm của A D¢ ¢ , I là giao điểm của A N¢ và B M¢ . Biết AI a AA bAB cAD = + + ' uur uuur uuur uuur . Tính a b c + + . Câu 10: Trong không gian, cho hình chóp S ABCD . đáy là hình bình hành. Gọi M và N là các điểm thỏa mãn MD MS + = 0 uuuur uuur r , NB NC + = 2 0 uuur uuur r . Mặt phẳng  AMN  cắt SC tại P . Tính tỉ số SP SC .
-----------------HẾT----------------- Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 1: Trong không gian, cho hình lập phương ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ biết rằng AN AB k AA AD = - + - 4 2 ¢ uuur uuur uuur uuur k Ρ và AM AB AA AD = + - 2 3 ¢ uuuur uuur uuur uuur . Tìm giá trị k thích hợp để AN AM ^ uuur uuuur Lời giải Vì ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ là hình lập phương nên AB AA AD = =¢ Các vectơ AB uuur , AA¢ uuur , AD uuur đôi một vuông góc với nhau. Do đó: AB AA . 0 ¢ = uuur uuur ; AB AD . 0 = uuur uuur ; AA AD ¢. 0 = uuur uuur . Để AN AM ^ uuur uuuur thì AN AM. 0 = uuur uuuur  4 2 . 2 3 0 AB k AA AD AB AA AD    Û - + - + - = ¢ ¢ uuur uuur uuur uuur uuur uuur 8 . 4 . 12 . . 2 3 2 . 2 3 0 AB AB AB AA AB AD k AA AB AA AD AD AB AA AD     Û - - + + + - - + - = ¢ ¢ ¢ ¢ uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur   2 Û - - + + + - - - + = 8 0 0 2 . . 3 . 4 . 2 . 6 . 0 AB k AA AB k AA AA k AA AD AD AB AD AA AD AD ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur       2 2 2 Û - - + + + - - - + = 8 0 0 0 0 0 0 6 0 AB k AA AD ¢ uuur uuur uuur 2 2 2 Û - + + = 8 6 0 AB kAA AD ¢ (mà AB AA AD = =¢ ) 2 2 2 Û - + + = 8 6 0 AB kAB AB   2 Û - + + = 8 6 0 k AB Û - + + = 8 6 0 k Û - = Û = k k 2 0 2 . D' A' B' C' D A B C
Vậy giá trị k thích hợp để AN AM ^ uuur uuuur là k = 2 . Câu 2: Trong không gian, cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình bình hành tâm O M, là điểm thay đổi trên SO . Tỉ số SM SO sao cho 2 2 2 2 2 P MS MA MB MC MD = + + + + nhỏ nhất là bao nhiêu? Lời giải Gọi I là điểm thỏa mãn SI IO = 4 uur uur . Suy ra:           2 2 2 2 2 P MI IS MI IA MI IB MI IC MI ID = + + + + + + + + + uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur   2 2 2 2 2 2 = + + + + + + + + + + 5 2 MI IS IA IB IC ID MI IS IA IB IC ID uuur uur uur uur uur uur   2 2 2 2 2 2 = + + + + + + + + + + + 5 2 4 MI IS IA IB IC ID MI IS IO OA OB OC OD uuur uur uur uuur uuur uuur uuur 2 2 2 2 2 2 = + + + + + 5MI IS IA IB IC ID . Vậy Pmin khi 4 5 SM M I SO o Þ = . Câu 3: Trong không gian, cho tứ diện ABCD có các điểm M N P , , lần lượt thuộc các cạnh BC BD , và AC sao cho BC BM AC AP BD BN = = = 4 , 3 , 2 . Mặt phẳng MNP cắt đường thẳng AD tại điểm Q . Tính tỉ số AQ AD . Lời giải Đặt AB a AC b AD c AQ k AD kc = = = = = , , , uuur r uuur r uuur r uuur uuur r O B C A S D I Q R N M B C D A P
Theo đề bài, ta có:   3 1 1 1 ; ; 4 4 2 3 AM a b AN a c AP b = + = + = uuuur r r uuur r r uuur r . Ta có: 1 1 1 4 4 2 3 1 4 12 3 1 4 4 MN AN AM a b c MP AP AM a b MQ AQ AM a b kc ì = - = - - + ï í = - = - + ï = - = - - + î uuuur uuur uuuur r r r uuur uuur uuuur r r uuuur uuur uuuur r r r Vì M N P Q , , , đồng phẳng nên 6 0,25 0,75 0,75 5 1 3 0,25 0,25 12 5 0,5 3 5 x x y xMN yMP MQ x y y x k k ì = + = ï ì ï ï ï + = Û - = Û = í í ï ï = î = ï î uuuur uuur uuuur . Vậy 3 3 5 5 AQ AQ AD AD = Þ = uuur uuur . Câu 4: Trong không gian, cho tứ diện S ABC . có SA SB SC AB AC BC = = = = = = 2, 2 2 . Hãy tính SC AB . uuur uuur . Lời giải Ta có:   2 2 2 2 2 2 BC SB SC SBC = + = + Þ D 2.2 2 2 vuông cân tại S . Mặt khác: SA AC SC SAC = = = Þ D 2 là tam giác đều.    2 2 . . . 0 . .cos 2.2.cos60 2 2 SC AB SC SB SA SC SB SC SA SC SA ASC = - = - = - = - ° = - = - uuur uuur uuur uur uur uuur uur uuur uur . Vậy SC AB . 2 = - uuur uuur . Câu 5: Trong không gian, cho tứ diện ABCD . Gọi E F, lần lượt là trung điểm của AB CD , . Cho AB a CD b EF c = = = 2 , 2 , 2 . Với M là một điểm tùy ý, biết tổng 2 2 2 2 MA MB k ME l a + = + . . . Tính k l + . Lời giải B A C S