Title Chương 9_Bài 33_ _Lời giải_Toán 11_KNTT.pdf ✅

BÀI 33. ĐẠO HÀM CẤP HAI A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM CẤP HAI HĐ1. Nhận biết đạo hàm cấp hai của một hàm số a) Gọi g x( ) là đạo hàm của hàm số sin 2 . 4 y x    = +     Tính g x( ) . b) Tính đạo hàm của hàm số y g x = ( ) Lời giải a) Với hàm số sin 2 4 y x    = +     , ta có: ' 2cos 2 4 y x    = +     đạo hàm cấp hai của y : ' 2cos 2 4 2 4 '' sin 4 y x x           = + = − +           b) Giả sử g x( ) là đạo hàm của hàm số y f x = ( ) . Ta có: ( ) ( ) 2cos 2 4 g x f x x     = = +     Để tính đạo hàm của hàm số y g x = ( ) , ta tính đạo hàm của g x( ) theo công thức: ( ) 4sin 2 4 g x x     = − +     Giả sử hàm số y f x = ( ) có đạo hàm tại mỗi điểm x a b ( ; ) . Nếu hàm số y f x   = ( ) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y  là đạo hàm cấp hai của hàm số y f x = ( ) tại x, kí hiệu là y  hoặc f x ( ) Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số 2 2 1 x y x e − = + . Từ đó tính y (0). Lời giải Ta có: ( ) 2 1 2 1 2 2 1 . 2 2. ; x x y x x e x e  − −  = + − = + ( ) 2 1 2 1 2 2 2 1 . 2 4. . x x y x e e  − −  = + − = + Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là 2 1 2 4 x y e −  = + . Khi đó ta có: ( ) 1 y e 0 2 4 −  = + . Luyện tập 1. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) 2 . x y x e = b) y x = + ln 2 3 ( ). Lời giải a) 2 2 2 2 (2 1) x x x y e xe x e  = + = + 2x y xe = là 2 2(2 2) x y x e  = + b) 2 2 2 4 ; 2 3 2 3 (2 3) d y y x dx x x   −   = = =   + + +   2.Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Xét một chuyển động có vận tốc tức thời v t( ) . Cho số gia t tại t và  = +  − v v t t v t ( ) ( ) . Tỉ số v t   gọi là gia tốc trung bình trong khoảng thời gian t . Giới hạn của gia tốc trung bình (nếu có) khi t dần tới 0 được gọi là gia tốc tức thời của chuyền động tại thời điểm t , kí hiệu là a t( ). Như vậy ( ) ( ) 0 lim t v a t v t t  →  = =   HĐ2. Nhận biết ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Xét một chuyển động có phương trình s t = 4cos2 . a) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t . b) Tính gia tốc tức thời tại thời điểm t . Lời giải a) Để tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t , ta tính đạo hàm cấp nhất của st() theo t : ( ) 8 sin(2 ) ds v t t dt = = −   b) Để tính gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t , ta tính đạo hàm cấp hai của st() theo t : 2 2 ( ) 16 cos(2 ) d s a t t dt = = −   Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Một chuyển động có phương trình s f t = ( ) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số f t( ) là gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có: a t f t ( ) = ( ) Ví dụ 2. Giải bài toán trong tình huống mở đầu. Lời giải Vận tốc của vật tại thời điểm t là ( ) ( ) 2 .4sin 2 8 sin 2 . 3 3 3 v t x t t t t               = = − + + = − +              Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là ( ) ( ) 2 8 2 .cos 2 16 cos 2 . 3 3 3 a t v t t t t                = = − + + = − +              Tại thời điểm t = 5 , gia tốc của vật là ( ) ( ) 2 2 2 5 16 cos 10 16 cos 79 cm / s . 3 3 a        = − + = −  −     Vận dụng. Một vật chuyển động thẳng có phương trình 2 4 1 2 2 s t t = + ( s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây. Lời giải Đạo hàm cấp một của st() theo t : 3 v t t t ( ) 4 2 = + Đạo hàm cấp hai của st() theo t : 2 a t t ( ) 12 2 = + Vậy, gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây là: ( ) 2 2 a(4) 12(4) 2 194 m / s = + =
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số y f x = ( ) 1. Phương pháp ✓ Tính đạo hàm cấp 1: f’(x) ✓ Tính đạo hàm cấp 2: ' f ''(x) f '(x) =     2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số ( ) 4 5 2 f x x 3x x 4 5 = − − + Hướng dẫn giải ( ) 4 5 2 f x x 3x x 4 5 = − − + thì ( ) 4 f x 4x 6x 1,  = − − do đó: ( ) 3 f x 16x 6.  = − Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y cos2x = Hướng dẫn giải y cos2x = thì y 2sin2x.  = − Do đó y 4cos2x.  = − Ví dụ 3: Cho hàm số ( ) 1 1 3 2 12 1. 3 2 f x x x x = + − − Giải f x '' 0 ( )  Hướng dẫn giải ( ) 1 1 3 2 12 1 3 2 f x x x x = + − − thì ( ) ( ) 2 f x x x f x x   = + − = + 12; 2 1. Do đó ( ) 1 0 . 2 f x x     − Ví dụ 4: Cho hàm số 1 y . x 1 = + Tính y ? Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 3 1 2 y y . x 1 x 1   = −  = + + Ví dụ 5: Cho hàm số x 3 y . x 4 − = + Tính ( ) ( ) 2 M 2 y 1 y .y . = + −   Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 3 7 14 y y x 4 x 4   =  = − + + Lại có x 3 7 1 y 1 x 4 x 4 − − = − = + + Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 49 7 14 M 2 y 1 y .y 2. . 0. x 4 x 4 x 4     = + − = + − =   +   + +     Ví dụ 6: Cho hàm số 1 2 y x x 1. 2 = + + Tính 2 y 2y.y .   − Hướng dẫn giải Ta có: y x 1 y 1.   = +  = Vậy: ( ) 2 2 2 2 2 1 y 2y.y x 1 2 x x 1 .1 x 2x 1 x 2x 2 1. 2     − = + − + + = + + − − − = −     Ví dụ 7: Cho hàm số y x sin x. = Tính xy 2 y sin x xy . − − + (   )