Title Bài 2_Hệ bpt bậc nhất hai ẩn_Lời giải.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 10 – CÁNH DIỀU– PHIÊN BẢN 25-26 1 BÀI 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Hệ bất phương trình bậc nhất hai ấn x y, là một hệ gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x y , . Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó. II. BIỂU DIỂN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRINH BẬC NHẤT HAI ẨN Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta làm như sau: - Trong cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó. - Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm. III. ÁP DỤNG VÀO THỰC TIỄN Bài toán 1. Trong bài toán ở phẩn mở đầu, tìm x và y sao cho tổng số lần xuất hiện quảng cáo của công ty là nhiều nhất. Giải Gọi x y, lần lượt là số lần phát quảng cáo vào khoảng 20 h30 và vào khung giờ 16 h00 17 h00 - . Theo giả thiết, ta có: x y x y Î Î 3 £ £ ¥ ¥ , , 10,0 50 . Tổng số lần phát quảng cáo là T x y = + . Số tiền công ty cần chi là 30 6 x y + (triệu đồng). Do công ty dự định chi không quá 900 triệu đồng nên 30 6 900 x y + £ hay 5 150 x y + £ . Ta có hệ bất phương trình: 5 150 10 0 50 ì + £ ï í 3 ï î £ £ x y x y Bài toán đưa về tìm x y, là nghiệm của hệ bất phương trình (I) sao cho T x y = + có giá trị lổn nhất. Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I). Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền tứ giác ABCD vối A B (30;0), (20;50) , C D (10;50), (10;0) (Hình 10). Người ta chứng minh được: Biểu thức T x y = + đạt được giá trị lốn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD. Tính giá trị của biểu thức T x y = + tại cặp số ( ; ) x y là toạ độ các đỉnh của tứ giác $A B C D$ rồi so sánh các giá trị đó. Ta được T đạt giá trị lốn nhất khi x y = = 20, 50 û̉ng với tọa độ đỉnh B. Vậy để phát được số lần quảng cáo nhiều nhất thì số lần phát quảng cáo vào khoảng 20 h30 và vào khung giờ 16 h00 17 h00 - lần lượt là 20 và 50 lần.
BÀI GIẢNG TOÁN 10 – CÁNH DIỀU– PHIÊN BẢN 25-26 2 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Phương pháp Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng toạ độ, ta gọi tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau: - Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại. - Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng toạ độ, miền còn lại không bị gạch (tô đậm) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T x y ax by ( , ) = + với ( ; ) x y nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước. - Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm S là đa giác. - Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với ( ; ) x y là tọa độ của các đỉnh của đa giác. - Bước 3: Kết luận: Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được. Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được. 2. Ví dụ Ví dụ 1: Tìm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các hệ sau: a) 3 1 0 2 2 0; x y x y ì + - £ í î - + 3 b) 5 9 0 4 7 3 0; x y x y ì + - = í î - + = c) 1 0 2 0; y x ì - < í î + 3 d) 3 0 2 3 0 0 0 x y x y x y ì + - £ ï- + + 3 í 3 ï î 3 Lời giải Các hệ a), c), d) là các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ b) không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì hệ này chỉ gồm các phương trình Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình sau:   3 (1) 2 2 2 x y x y ì - < í + > - î a) Mỗi bất phương trình (1) và (2) có là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? b) Chỉ ra một nghiệm chung của hai bất phương trình (1) và (2) trong hệ trên Lời giải · ·
BÀI GIẢNG TOÁN 10 – CÁNH DIỀU– PHIÊN BẢN 25-26 3 a) Hai bất phương trình bài cho là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. b) (1; 1) là một nghiệm chung của hai BPT (1) và (2) vì: Thay x y = = 1; 1 vào (1) ta được: 1-1<3(Luôn đúng) Thay x y = = 1; 1 vào (2) ta được: 1 2.1 2 + > - (Luôn đúng) Ví dụ 3: Chỉ ra một nghiệm của hệ bất phương trình sau: 2 0 3 6 4 x y x y x y ì + > ï í - < ï î - 3 - Lời giải Thay cặp số 1;1 vào 3 bất phương trình. Thay x y = = 1; 1 vào 3 bất phương trình ta được: 2.1 1 0 + > (Đúng) 1 3.1 6 - < (Đúng) 1 1 4 - 3 - (Đúng) Vậy 1;1 là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Ví dụ 4: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau 2 0 3 3 0. x y x y ì + - 3 í î - + £ Lời giải Vẽ các đường thẳng d x y : 2 0, + - = d x y ¢: 3 3 0 - + = trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Xét điểm O0;0 , ta thấy 0;0 không phải là nghiệm của bất phương trình x y + - 3 2 0 và x y - + £ 3 3 0 do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô đậm trên hình vẽ kể cả hai đường d và d¢. Ví dụ 5: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau: 0 2 3 6 0. 2 1 0 x y x y x y ì + > ï í - + > ï î - + 3
BÀI GIẢNG TOÁN 10 – CÁNH DIỀU– PHIÊN BẢN 25-26 4 Lời giải Vẽ các đường thẳng d x y d x y : 0, : 2 3 6 0 + = - + = ¢ và d x y ¢¢: 2 1 0 - + = trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Xét điểm O(0;0), ta có 0;0 là nghiệm của bất phương trình 2 3 6 0 x y - + > và x y - + 3 2 1 0. Do đó O(0;0) thuộc miền nghiệm của các bất phương trình 2 3 6 0 x y - + > và x y - + 3 2 1 0. Xét điểm M (1;0) là nghiệm của bất phương trình x y + > 0 do đó điểm M (1;0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x y + > 0. Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô đậm trên hình vẽ kể cả đường thẳng d¢¢. Ví dụ 6: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: 3 6 4 0 0 x y x y x y ì + £ ï + £ í 3 ï î 3 Lời giải Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy. Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong Hình 3 là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Ví dụ 7: Xác định miền nghiệm của bất phương trình   3 3 ( ) 0 x y x y - + 3 . Lời giải Ta có     3 3 2 2 ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 x y x y x y x y x xy y x y x y - + 3 Û - + - + 3 Û - + 3