Title C5-B2-GIOI HAN CUA HAM SO - ALG.docx ✅

 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 1 ▶BÀI ➋. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Ⓐ. Tóm tắt kiến thức    ❶. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm  Cho điểm 0x thuộc khoảng K và hàm số yfx xác định trên K hoặc \oKx .  Ta nói hàm số yfx có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới 0x nếu dãy số nx bất kì, 0\nonxKx và xx thì nfxL , kí hiệu  0 0lim. xx fxL hay fxL khi xx   Nhận xét: 000limlim xxxx xx ; c= c  ( c là hằng số). ❷. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số  Cho Khi đó:   0 lim xx fxgxLM    0 lim xx fxgxLM     0 lim.. xx fxgxLM    0limxxfxL gxM ( với 0M ).  Nếu  ( Dấu của fx được xét trên khoảng tìm giới hạn, 0xx ).  Nhận xét:  a) 0limkk o xx xx , k  là số nguyên dương;  b)  00 limlim( xxxx cfxcfxc  ¡ , nếu tồn tại  0 lim xx fx ¡ ). ❸. Giới hạn một phía  Cho hàm số yfx xác định trên khoảng 0;xb .  Ta nói hàm số yfx có giới hạn bên phải là số L khi x dần tới 0x nếu dãy số nx bất kì, 0nxxb 00,nnnxxb và xx thì fxL kí hiệu  0 lim xx fxL     Cho hàm số yfx xác định trên khoảng ,oax .  Ta nói hàm số yfx có giới hạn bên trái là số L khi x dần tới 0x nếu dãy số nx bất kì, 0naxx0,nn và xx thì fxL  kí hiệu  0 lim xx fxL    .        
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 2  Chú ý:  Ta thừa nhận các kết quả sau:   00 limlim xxxx fxL và fxL    khi và chỉ khi  0 lim; xx fxL   Nếu  00 limlim xxxx fxfx    thì không tồn tại  0 lim xx fx  .  Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay 0xx  bằng 0xx hoặc 0xx . ❹. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực  Cho hàm số yfx xác định trên khoảng ;a .  Ta nói hàm số yfx có giới hạn hữu hạn là số L khi x  nếu dãy số nx bất kì, ,nnnx>a và x thì fxL kí hiệu lim x fxL hay fxL khi x+.   Cho hàm số yfx xác định trên khoảng ;a .  Ta nói hàm số yfx có giới hạn hữu hạn là số L khi x  nếu dãy số nx bất kì, ,nnnx<a và x thì fxL kí hiệu lim x fxL hay fxL khi x.   Chú ý:  a) Với c là hằng số và k là số nguyên dương, ta luôn có: limlim0. k xx c cc và x  b) Các phép toán trên giới hạn hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi thay 0xx bằng x hoặc x.  Cho hàm số yfx xác định trên khoảng ;a .  Ta nói hàm số yfx có giới hạn hữu hạn là số L khi x  nếu dãy số nx bất kì, ,nnnx<a và x thì fxL kí hiệu lim x fxL hay fxL khi x.  ❺. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm  Cho hàm số yfx xác định trên khoảng 0;xb .  Ta nói hàm số yfx có giới hạn bên phải là 0 khi xx về bên phải nếu với dãy số nx bất kì, 0,onnnx< x < b và xx thì fx kí hiệu   0 0lim xx fx hay fx khi xx.      Ta nới hàm số yfx có giới hạn bên phải là 0 khi xx về bên phải nếu với dãy số nx bất kì, 0,onnnx< x < b và xx thì fx kí hiệu  0 0lim xx fx hay fx khi xx.                
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 3  Chú ý: a) Các giới hạn  00 lim,lim,lim,lim, xxxxxx fxfxfxfx   lim, x fx  lim x fx  được định nghĩa tương tự như trên. b) Ta thường có các giới hạn thường dùng sau: 11limlim; xaxa và a xaxa ¡ limk x x  với k nguyên dương; limk x x  với k là số chẵn; limk x x  với k là số lẻ. c) Các phép toán trên giới hạn hàm số ở Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây. Nếu  0 lim, xx fx    000 lim0limlim. xxxxxx fxL và gx thì fxgx     được tính theo quy tắc cho bởi sau: Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay 0x thành 0x ( hoặc  , ).             Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản ⬩Dạng ❶: Xác định giới hạn của hàm số bằng định nghĩa ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Xét hàm số 2 9 () 3 x fx x    với 3x . Chứng minh rằng 3 lim()6 x fx  . Câu 2: Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng: a) 3 2 lim8 x x  b) 2 2 4 lim4 2x x x    ⬩Dạng ❷: Tính giới hạn của hàm số bằng một số kết quả giới hạn cơ bản ☞Các ví dụ minh họa
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 4 Câu 1: Cho 1 lim()2 x fx  . Chứng minh rằng: 1 () lim1 2x fx  . Câu 2: Khi thực hiện tính 1lim[3()] x fx  biết 1lim()1 x fx  , một bạn làm như sau: 1133 lim[3()]lim(3)lim(3)3. xxx fxfxfx  a) Theo em, lời giải trên có đúng không? Giải thích. b) Nếu lời giải trên là sai, em hãy trình bày lời giải đúng. Câu 3: Tính các giới hạn sau: a) 2 3 lim2 x xx  b) 2 1 321 lim 32x xx x   c) 2 2 lim54 x xx  . ⬩Dạng ❸: Tính giới hạn của hàm số có dạng 0 ,(0),, 00 CC C   ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Tính các giới hạn sau: a) 2 1 lim 2xx b) 3 1 lim 3xx c) 32 lim 45x x x   d) 2 1 341 lim 1x xx x   Câu 2: Cho 2 ()5 lim3 2x fx x    . Tìm 2 lim() x fx  . ⬩Dạng ❹: Xác định giới hạn của hàm số dựa vào đồ thị ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 1 và cho biết các giới hạn sau: lim();lim() xx fxfx  ; 00lim();lim() xx fxfx  