Title Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 3 - Bài toán liên quan đồ thị.doc ✅

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 3 - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Sự tương giao: Cho 2 đồ thị của hàm số: ,yfxygx Phương trình hoành độ giao điểm: 0fxgxfxgx là một phương trình đại số, tùy theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao. Vô nghiệm: không có điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 nghiệm kép: tiếp xúc, 2 nghiệm phân biệt: 2 giao điểm,… Chú ý: 1) Phương trình bậc 3: 32,0axbxcxda Nếu có nghiệm 0xx thì phân tích: 200xxAxBxC Nếu đặt hàm số 32fxaxbxcxd thì điều kiện: có 1 nghiệm: đồ thị không có cực trị hoặc .0 CÐCTyy , có 2 nghiệm: .0 CÐCTyy , có 3 nghiệm phân biệt: .0 CÐCTyy . Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm dương khi:  .0 ,0 .00 CÐCT CÐCT yy xx af       2) Hai điểm trên 2 nhánh đồ thị gx y xk  , ta thường lấy hai hoành độ ka và kb với ,0ab . Góc và khoảng cách: - Góc giữa 2 vectơ: 2222''cos, .'' xxyy uv xyxy    →→ - Góc giữa 2 đường thẳng: 2222''coscos,' .'' AABB nn ABAB    →→ - Khoảng cách 22BABAABxxyy - Khoảng cách từ 000;Mxy đến :0AxByC : 00 22 AxByC d AB    - Đồ thị hàm bậc 3: yfx cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách ABBC tức là 3 nghiệm 123,,xxx lập cấp số cộng thì điểm uốn thuộc trục hoành. - Phương trình trùng phương 420,0axbxca có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi 120tt , 219tt . Tiếp tuyến và tiếp xúc: - Tiếp tuyến tại điểm 00;Mxy của đồ thị :Cyfx
Trang 2 000'yyfxxx , hệ số góc: 'tan0,fxkxt - Điều kiện 2 đồ thị yfx và ygx tiếp xúc là hệ phương trình:  '' fxgx fxgx      có nghiệm - Tiếp tuyến đi qua điểm ;Kab : Lập phương trình tiếp tuyến tại 0x bất kỳ rồi cho tiếp tuyến đi qua điểm ;Kab thì tìm ra 0x . Chú ý: Với hai đường thẳng :,':''dyaxbdyaxb thì có: 'dd khi 'aa , 'bb ; //'dd khi 'aa , 'bb ; 'dd khi .'1aa Yếu tố đối xứng: - Hàm số chẵn: xDxD và fxfx Đồ thị hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung. - Hàm số lẻ: xDxD và fxfx Đồ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O. - Công thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OI→ . OxyIXY với 00;Ixy : 0 0 xXx yYy     - Điều kiện C nhận 00,Ixy là tâm đối xứng. 00 000,, 2 fxxfxx yxxxxD  , hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến gốc I nói trên là hàm số lẻ. - Điều kiện C nhận :dxa làm trục đối xứng; ,,faxfaxaxaxD , hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến ;0Sa là hàm số chẵn. Quỹ tích điểm M: Tìm tọa độ x, y của M, khử tham số giữa x và y. Giới hạn: Chuyể ndk nếu có của tham số về điều kiện của x (hay y). Đặc biệt: Nếu ;MxyV thì chỉ cần tìm x rồi rút tham số để thế, khử tham số. 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 3.1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số 42221yxmx luôn cắt đường thẳng 1yx tại đúng hai điểm phân biệt với mọi giá trị m. Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: 42232211210xmxxxxmx
Trang 3 0x hoặc 32210xmx Xét hàm số 3221fxxmx . Ta có 010f và 22'320fxxm nên hàm số này đồng biến trên ℝ . Vì 32limlim21 xx fxxmx  và 32limlim21 xx fxxmx  nên phương trình 0fx luôn có nghiệm duy nhất 0x : đpcm. Bài toán 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt: a) 3221322yxmxmxm . b) 331yxmxm . Hướng dẫn giải a) Cho 320213220yxmxmxm 21220xxmxm 1x hoặc 22201 fxxmxm Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1.  2 '020 1 1030 mm m fm      hoặc 2,3mm b) Dℝ . Ta có 22'33,'0yxmyxm . Điều kiện mC cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là đồ thị có CĐ, CT và .0CÐCTyy 0m và .0.0CÐCTyyfmfm 2312.120140mmmmmmmm . 3224210143101mmmmmmm . (vì 9160 nên 24310,mmm ). Bài toán 3.3: Tìm các giá trị của m để đường thẳng md đi qua điểm 2;2A và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số: 21 1 x y x    a) Tại hai điểm phân biệt? b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị? Hướng dẫn giải Phương trình của :2222mdymxmxm .
Trang 4 Phương trình hoành độ giao điểm của md và đường cong: 212222121,1 1 x mxmmxmxxx x    23230,11mxmxmx a) Đường thẳng md cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1. 2 00 0 0,10120 am m gmm      hoặc 12m . b) Hai nhánh của đường cong đã cho nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng 1x của đồ thị. Đường thẳng md cắt đường cong đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm 12,xx và 121xx . Đặt 1xt thì 121210xxtt . Phương trình trở thành: 2131230mtmtm 2302 mtmt . ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu 00Pm . Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng a) ,0ymm cắt đồ thị C của hàm số 4232yxx tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa độ O. b) 3yxm cắt đồ thị C của hàm số 2 1 x y x  tại 2 điểm phân biệt có hoành độ 12,xx và 12xx đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn giải a) Phương trình hoành độ giao điểm: 4242 32320xxmxxm Với mọi 0m thì đường thẳng ym cắt C tại hai điểm phân biệt ;AAxm và ;BBxm đối xứng qua Oy, ABxx . Tam giác OAB vuông tại O nên 2.0.0 ABOAOBxxm→→ Mà 0 ABxx nên ; ABxmxm Do đó 42323202210mmmmmmm 2m (vì 0m ) b) Phương trình hoành độ giao điểm: 223230,1 1 x xmxmxmx x  .