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1. VECTORES 1.1. CONCEPTOS BASICOS ́ Un vector es un segmento orientado que representa un desplazamiento que puede ser en el plano o en el espacio. Todo vector, consta de tres elementos: direcci ́on, sentido y magnitud (m ́odulo o norma). Por lo general los vectores se representan con letras min ́usculas: !v , !w o indicando el punto de partida y el de llegada ( !AB). # M ́odulo: Corresponde al valor num ́erico de la magnitud vectorial. Longitud de la flecha. Distancia entre los extremos del vector. Sea el vector !v el m ́odulo del vector se denota por || !v ||. || !v || = p a2 + b2, donde !v = (a, b) # Direcci ́on: Corresponde a la orientaci ́on que tiene un vector en el plano o en el espacio de la recta que lo contiene. # Sentido: Indica el origen y el extremo final, la punta del vector nos entrega el sentido. Los vectores !MN y !NM tienen distinto sentido, pero igual magnitud (miden lo mismo) y direcci ́on (tienen la misma inclinaci ́on). 1.2. COORDENADAS DE UN VECTOR EN 2D Dado un sistema de coordenadas, si A = (a1, a2) y B = (b1, b2), entonces las componentes del vector !AB son: !AB = (b1 a1, b2 a2) Observa que si O es el origen de coordenadas (0, 0), las coordenadas de un punto P y las componentes del vector !OP coinciden. M N x y b1 a1 b2 a2 A = (a1, a2) B = (b1, b2) PAUTA CEM GUÍA GE3MET6ÍA :ECT36ES D CEM-GE | AOHMDQdUo MX¬o] #MDQoPDWKV MÉTODO CEM MAUROQUINTANA.CL
Ejercicio 1: Determine las componentes de los siguientes vectores en cada caso, a partir de los puntos dados. A(25, 4); B(7, 22); C(21, 29) y D(2, 6) a) !AB b) !BC c) !AD d) !DC 1.3. ALGUNAS DEFINICIONES El vector nulo: Se refiere a un vector que posee m ́odulo nulo (cero), podemos decir entonces, que corresponde a !0 = 0 = (0, 0). El vector opuesto: Sea !v un vector cualquiera. Existe su vector opuesto ( !v ) que corres- ponde al mismo vector !v , pero con sentido contrario. En el dibujo, tenemos al !v y su opuesto ( !v ). Por lo tanto: !v + ( !v ) = !0 1.4. OPERACIONES CON VECTORES Para sumar vectores o multiplicar un vector por un escalar (n ́umero real), se efect ́ua la operaci ́on correspondiente con las respectivas componentes de los vectores. As ́ı, si !v = (v1, v2) y !w = (w1, w2), se tiene: !v + !w = (v1 + w1, v2 + w2) ; a !v = (av1, av2) Ejemplo: Determina las siguientes operaciones de 3 !v +5 !w, si !v = (2, 1) y !w = (4, 3). a a !v !v MÉTODO CEM MAUROQUINTANA.CL CEM MAURO QUINTANA GUÍA :ECTO6E7 4+ 26 PAES
Para obtener geom ́etricamente !a + !b , debemos poner el inicio del vector !b coincidiendo con el fin del vector !a . As ́ı al unir la trayectoria con un solo vector, obtenemos !a + !b . Geom ́etricamente la multiplicaci ́on de un vector por un escalar, se puede representar por la siguiente figura. Entonces: !a !b B A O !a !a !a !a n = 3, a n! = 3! a 1 2 !v 1 2 !v !v !v 2 !v 2 !v 3 !v 3 !v MÉTODO CEM MAUROQUINTANA.CL CEM MAURO QUINTANA GUÍA :ECTO6E7 4+ 6 PAES
Ejercicio 2: Dados los vectores !u = (1, 3) y !v = ( 2, 0). Calcula: a) !u + !v b) 3 !u c) 2 !u 3 !v Ejercicio 3: Dados los vectores !a = (3, 2) y !b = ( 1, 5) y !c = (4, 6), determina: a) !a !b + !c b) !a + 3 !b 2 !c Observaciones: # Dos vectores son iguales si y s ́olo si sus componentes correspondientes son iguales. # Dos vectores son linealmente dependientes si existe un escalar que la multiplicar uno de los vectores da como resultado el otro. Ejercicio 4: Determina el valor de x e y, si los vectores !m = (x + y, x y) y !n = (7, 5) son iguales. Ejercicio 5: Sean !m = (3, 2) y !n = (1, 4). Determina el valor de los escalares a y b si: a · !m + b !n = (5, 0) MÉTODO CEM MAUROQUINTANA.CL CEM MAURO QUINTANA GUÍA :ECTO6E7 4+ 6 PAES