Title Hình học 9-Chương 9-Tứ giác nội tiếp. Đa giác đều-Bài 2-Tứ giác nội tiếp-Chủ đề 2-LỜI GIẢI.doc ✅

Hình học 9 - Chương 9: Tứ giác nội tiếp. Đa giác đều – Tự luận có lời giải Trang 1 CHỦ ĐỀ 2 BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ ĐƯỜNG TRÒN DẠNG 1 ĐƯỜNG TRÒN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN, CHỨNG MINH HỆ THỨC, TRUNG ĐIỂM, TỈ LỆ CẠNH Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AE , BF và CN cắt nhau tại H ( EBC , FAC , NAB ). a) Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp. b) Kéo dài FE cắt đường tròn đường kính BC tại M . Chứng minh BMBN . c) Biết AHBC . Tính số đo góc A của tam giác ABC . Lời giải O H BC A E F N M a) Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp. Ta có: 90HFACgtHFC 90HEBCgtHEC Xét tứ giác CEHF có:  9090180HFCHEC mà hai góc này đối nhau CEHF là tứ giác nội tiếp. b) Kéo dài FE cắt đường tròn đường kính BC tại M . Chứng minh BMBN . Ta có: 90HNABgtANH
Hình học 9 - Chương 9: Tứ giác nội tiếp. Đa giác đều – Tự luận có lời giải Trang 2 90HFACgtAFH Xét tứ giác AFHN có:  9090180ANHAFH mà hai góc này đối nhau AFHN là tứ giác nội tiếp.  NAHNFH (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HN ) (1) Tứ giác HECF nội tiếp (cmt)  HFEHCE (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HE ). (2) Ta có:  BAENCB (hai góc cùng phụ với  ABC )  NAHHCE (3) Từ (1), (2), (3) suy ra  NFHHFE hay  NFBBFM . Xét O có:  NFBBFM :  sdBNsdBM (hai góc nội tiếp bằng nhau hai cung chắn bằng nhau). BNBM (hai cung chắn bằng nhau hai dây bằng nhau) (đpcm). c) Biết AHBC . Tính số đo góc A của tam giác ABC . Xét hai tam giác vuông FAH và FBH ta có: AHBC (giả thiết)  FAHFBC (vì cùng phụ với góc  ACE ) Vậy FAHFBC FAFB Mặt khác tam giác AFB vuông có FAFB nên nó vuông cân Vậy  45BAC∘ . Bài 2. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến ,AMAN với đường tròn ,OMN là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm ,PQ sao cho P nằm giữa A và Q, dây cung PQ không đi qua tâm O. Gọi I là trung điểm của đoạn ,PQJ là giao điểm của hai đường thẳng AQ và .MN Chứng minh rằng : a) Năm điểm ,,,,AMOIN cùng nằm trên một đường tròn và JIMJIN b) Tam giác AMP đồng dạng với tam giác .AQM Và ..APAQAIAJ Lời giải
Hình học 9 - Chương 9: Tứ giác nội tiếp. Đa giác đều – Tự luận có lời giải Trang 3 J I P N M OA Q a) Năm điểm ,,,,AMOIN cùng nằm trên một đường tròn và JIMJIN  Năm điểm ,,,,AMOIN cùng nằm trên một đường tròn Xét đường tròn O có I là trung điểm của dây cung PQ (dây PQ không đi qua tâm O) 9090OIPQPIOAIO AIO vuông tại I I thuộc đường tròn đường kính AO AM là tiếp tuyến của (O) 90AMO (tính chất tiếp tuyến của đường tròn) AMO vuông tại M M thuộc đường tròn đường kính AO Cmtt suy ra N thuộc đường tròn đường kính AO Vậy 5 điểm ,,,,AMOIN cùng nằm trên một đường tròn đường kính AO  JIMJIN ,AMAN là tiếp tuyến của đường tròn (O) OA là phân giác của MON (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AOMAON . Ta có : AOMAIM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) AONAIN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )AN mà AOMAONcmt ()AIMAINJIMJINdfcm b) Tam giác AMP đồng dạng với tam giác .AQM Và ..APAQAIAJ Xét (O) có : MQPAMP (cùng chắn cung )PMMQAAMP Xét AMP và AQM có : ,MAQchungAMPMQA~(.)AMPAQMgg APAM AMAQ (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) 2.1APAQAM Ta có : AMNAIN (cùng chắn cung AN) AMJJIN Mà ()JIMJINcmtAMJJIM (do )JIMJINcmtAMJAIM Xét AMJ và AIM có : ,(.)MAIchungAMJAIMcmtAMJAIMgg∼
Hình học 9 - Chương 9: Tứ giác nội tiếp. Đa giác đều – Tự luận có lời giải Trang 4 AMAJ AIAM (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) 2.2AIAJAM Từ (1) và (2) ..()APAQAIAJdfcm Bài 3. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB , dây CD vuông góc với AB tại F . Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC ( M khác B , M khác C ), hai đường thẳng AM và CD cắt nhau tại E a) Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp b) Chứng minh tia MA là phân giác của góc CMD c) Chứng minh 2.ACAEAM d) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng MD và AB , N là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC . Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEN nằm trên đường thẳng CI Lời giải H F E N OI D B M A C a)Xét tứ giác BMEF có: 0 90BFE (gt) 0 90BFE (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0 180BFEBME Mà hai góc ,BFEBME nằm ở vị trí đối nhau nên tứ giác BMEF nội tiếp b) Ta có ABCDF là trung điểm của CD (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung) AB là đường trung trực của CD  sđ AC = sđ AD Ta có 1 2AMC sđ  AC và 1 2AMD sđ  AD  AMCAMDAM là phân giác của  CMD c) Xét ACE và AMC có:  :A chung 1 2AMC sđ  AC và 1 2ACD sđ  ADAMCACD