Title Bài 3.1_Giới hạn dãy số_Vở bài tập.pdf ✅

1 Chƣơng 3: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số Giới hạn 0 của dãy số Dãy số un  có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim 0 0 . n n n u hay u khi n      Ta còn viết là lim 0 n u  . Ta thừa nhận một số giới hạn cơ bản sau đây:  1 lim 0 k n  , với k nguyên dương bất kì.  lim 0 n q  , với q là số thực thỏa mãn q 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số Dãy số un  có giới hạn hữu hạn là số a ( hay n u dần tới a ) khi n dần tiến tới dương vô cực, nếu lim 0. u a n   Khi đó, ta viết lim . n n n n u a hay lim u a hay u a khi n       Chú ý: Nếu n u c  ( c là hằng số) thì lim u c c n   lim . 2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số Cho lim u a v = b và c n n  ,lim là hằng số. Khi đó: limu v a b n n     limu v a b n n     lim . . c u c a n   lim . . u v a b n n   lim 0   n n u a b v b   Nếu 0, n n u n thì a 0 và lim u a       3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn un  có công bội q thỏa mãn q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là 1 1 2 ... ... 1 n u S u u u q        4. Giới hạn vô cực Ta nói dãy số un  có giới hạn là nếu n u lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim n n u hay u khi n + .      
2 Ta nói dãy số un  có giới hạn là    khi n nếu lim   un  , kí hiệu lim n n u hay u     khi n +   . Chú ý: Ta có các kết quả sau: a) lim n u   khi và chỉ khi lim u    n  ; b Nếu lim n u   hoặc lim n u   thì 1 lim 0 n u  ; c) Nếu lim 0 0 n n u và u   với mọi n thì 1 lim n u   . Nhận xét: )lim , 1 ;   k a n k k     )lim 1 .   n b q q    B. PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ 1. Phƣơng pháp Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức và mẫu thức cho luỹ thửa cao nhất của k n , với k là bậc cao nhất ở mẫu, rồi áp dụng các quy tắc tinh giới hạn. Chú ý : Cho P n Q n , lần lượt là các đa thức bậc m k, theo biến n: 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 m k k k k k m m m m a n a a Q n b n b n b n P x a n b b a n Khi đó lim lim m m k k P n a n Q n b n , viết tắt m m k k P n a n Q n b n , ta có các trường hợp sau : Nếu « bậc tử » « bậc mẫu ( m k ) thì lim 0. P n Q n Nếu « bậc tử » « bậc mẫu ( m k ) thì lim . m k P n a Q n b Nếu « bậc tử » « bậc mẫu ( m k ) thì 0 lim . 0 m k m k P n khi a b Q n khi a b Để ý rằng nếu P n Q n , có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể m k n tì có bậc là . k n Ví dụ n có bậc là 1 3 4 , 2 n có bậc là 4 ,... 3 Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng ! 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tính      3 2 3 2 3n 5n 1 lim 2n 6n 4n 5 . Lời giải
3 ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 2: Tính 2 3 2 lim 3 1 n n n n Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 3: Tính 7 2 3 lim 3 1 n n n n Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 4: Cho dãy số n u với 2 5 3 n n b u n trong đó b là tham số thực. Để dãy số n u có giới hạn hữu hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 5: Cho dãy số n u với 2 2 4 2 . 5 n n n u an Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a bằng bao nhiêu Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 6: Tính giới hạn 2 3 4 2 2 2 1 4 5 lim . 3 1 3 7 n n n n L n n n Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Dạng 2. Dãy số chứa căn thức 1. Phƣơng pháp  Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.
4 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tính 2 2 lim n 7 n 5          Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 2. Tính 2 lim 1 n n n Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 3. Tính   3 2 3 lim n n n   Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ví dụ 4. Tính lim 1 n n n Lời giải ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa hàm mũ 1. Phƣơng pháp Trong tính giới hạn lim n n u v mà ; n n u v là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu cho n a với a là cơ số lớn nhất. Sau đó sử dụng công thức: lim 0 n q  với q 1. 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B                        