Title Bài 17_Hàm số liên tục_Toán 11_KNTT_Chỉ có đề.pdf ✅

BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng (a;b) chứa điểm 0 x . Hàm số f (x) được gọi là liên tục tại điềm 0 x nếu   0 0 lim ( ) x x f x f x   . Hàm số f (x) không liên tục tại 0 x được gọi là gián đoạn tại điểm đó. 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Hàm số y  f (x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này. Hàm số y  f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và lim ( ) ( ), lim ( ) ( ) x a x b f x f a f x f b       Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a;b],[a;), được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó. - Hàm số đa thức và các hàm số y  sin x, y  cos x liên tục trên  . - Các hàm số y  tan x, y  cot x, y  x và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng. 3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN Giả sử hai hàm số y  f (x) và y  g(x) liên tục tại điểm 0 x . Khi đó: a) Các hàm số y  f (x)  g(x), y  f (x)  g(x) và y  f (x)g(x) liên tục tại 0 x ; b) Hàm số ( ) ( ) f x y g x  liên tục tại 0 x nếu g  x0   0 . Nhận xét. Nếu hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f (a) f (b)  0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a;b) sao cho f (c)  0 . Kết quả này được minh hoạ bằng đồ thị như Hình 5.8 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm 1. Phương pháp Ta cần phải nắm vững định nghĩa: Cho hàm số y  fx xác định trên khoảng K và 0 x K. Hàm số y  fx gọi là liên tục tại 0 x nếu 0 0 x x0 x x x x o o lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ).         
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho   x 2 2 x f x x     với x  0. Phải bổ sung thêm giá trị f0 bằng bao nhiêu thì hàm số liên tục tại x  0? Ví dụ 2: Cho hàm số   2 a x vôùi x 1 vaø a f x . 3 vôùi x 1          Giá trị của a để fx liên tục tại x 1 là bao nhiêu? Ví dụ 3: Cho hàm số   2 3 x 1 vôùi x 3 vaø x 2 f x . x x 6 b 3 vôùi x 3 vaø b                Tìm b để fx liên tục tại x  3. Ví dụ 4: Cho hàm số   a 2 khi x 2 f x . sin khi x 2 x           Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x  2. Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm 0 x .   3 3x 2 2 neáu x 2 f x x 2 ax 2 neáu x 2             ; 0 x  2. Ví dụ 6: Cho hàm số   x 2 vôùi 5 x 4 x 5 f x mx 2 vôùi x 4 . x vôùi x 4 3               Tìm giá trị của m để fx liên tục tại x  4 . Ví dụ 7: Cho hàm số   2 2 2 x 8 3 neáu x 1 f x x 4x 3 . 1 cos x a x neáu x 1 6                Tìm giá trị của a để fx liên tục tại x 1. Dạng 2. Hàm số liên tục trên tập xác định 1. Phương pháp  Để chứng minh hàm số y  f  x liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận.  Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó.  Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào  Hàm số y  fx được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.  Hàm số y  fx được gọi là liên tục trên đoạn a,b   nếu nó liên tục trên a,b và x a x b lim f(x) f(a), lim f(x) f(b).       2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :
a)   2 4 2 2 4 2 x khi x f x x khi x             b)   2 2 2 2 2 2 2 x khi x f x x khi x           Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: a)   2 2 2 2 2 x x khi x f x x m khi x              b)   2 1 2 1 1 1 x x khi x f x khi x mx khi x            Dạng 3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng 1. Phương pháp  Chứng minh phương trình fx  0 có ít nhất một nghiệm - Tìm hai số a và b sao cho fa.fb  0 - Hàm số fx liên tục trên đoạn a;b   - Phương trình fx  0 có ít nhất một nghiệm   0 x  a;b  Chứng minh phương trình fx  0 có ít nhất k nghiệm - Tìm k cặp số i i a ,b sao cho các khoảng   i i a ;b rời nhau và i i f(a )f(b )  0, i 1,...,k - Phương trình fx  0 có ít nhất một nghiệm   i i i x  a ;b .  Khi phương trình fx  0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho : - fa, fb không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi. - Hoặc fa, fb còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: mx 1x  2  2x 1  0. Ví dụ 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: a)    3 2 2 1 m x 1  x  x  3  0 b) cos x  mcos 2x  0 c) m2cos x  2   2sin 5x 1 Ví dụ 3. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) 3 x  3x 1  0 b) 3 2x  6 1 x  3 Ví dụ 4. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) 5 x  3x  3  0 b) 4 3 2 x  x  3x  x 1  0 Ví dụ 5. Chứng minh rằng phương trình 2 ax  bx  c  0 luôn có nghiệm 1 0; 3 x        với a  0 và 2a  6b 19c  0 .
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 5.14. Cho f  x và g  x là các hàm số liên tục tại x 1. Biết f 1  2 và     1 lim 2 3 x f x g x        . Tính g 1 . Bài 5.15. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: a)   2 5 6 x f x x x    b)   2 1 khi 1 4 khi 1. x x f x x x         Bài 5.16. Tìm giá trị của tham số m đề hàm số liên tục trên  .   sin khi 0 khi 0 x x f x x m x        Bài 5.17. Một bảng giá cước taxi được cho như sau: Gía mở cửa 0,5km Gía cước các km tiếp theo đến 30km Giá cước từ km thứ 31 10000 đồng 13500 đồng 11 000 đồng a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển. b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a. D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) 2 2 khi 2 2 khi 2 x x x f x x m x ìï - - í ï î 1 = - = liên tục tại x = 2. A. m = 0. B. m =1. C. m = 2. D. m = 3. Câu 2: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) 3 2 2 2 khi 1 1 3 khi 1 x x x x f x x x m x ìï - + - 1 = - + í = ï ï î liên tục tại x =1. A. m = 0. B. m = 2. C. m = 4. D. m = 6. Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số   1 khi 1 1 1 khi 1 x x y f x x k x             liên tục tại x 1. A. 1 . 2 k  B. k  2. C. 1 . 2 k   D. k  0. Câu 4: Biết rằng hàm số   3 khi 3 1 2 khi 3 x x f x x m x            liên tục tại x  3 (với m là tham số). Khẳng định nào dưới đây đúng? A. m3;0. B. m  3. C. m0;5. D. m5;.