Title Chuyên đề 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN.doc ✅

Chuyên đề 2 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa (h.2.1) • αcaïnh ñoái sin =; caïnh huyeàn • αcaïnh keà cos =; caïnhhuyeàn αcaïnh ñoái tan=; caïnhkeà • αcaïnhkeà cot=. caïnh ñoái Từ định nghĩa ta có cả bốn tỉ số lượng giác dương và sinα1;cosα1. . 2. Định lí Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin của góc kia, tang của góc này bằng côtang của góc kia 3. Một số hệ thức cơ bản αα αα αα αααα.22 sincos tan =(1);cot=(2); cossin tan.cot=1(3);s • ••in+cos=1(4) 4. So sánh các tỉ số lượng giác Cho α, là hai góc nhọn. Nếu α thì •sinαα • sin,tantan; coscos;cotααcot.     B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh các hệ thức: a) 2 2 1 1tanα; cosα b) 2 2 1 1cotα. sinα Giải a) Ta có 2 222 2 222 sinαsinαcosαsinα1 1tanα11 cosαcosαcosαcosα     ; b) Ta có 2 222 2 222 cosαcosαsinαcosα1 1cotα11. sinαsinαsinαsinα     Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Ta cũng có thể biến đổi vế phải thành vế trái theo chiều ngược lại. Hai hệ thức trên cũng là hệ thức cơ bản, nên nhớ để sau này vận dụng. Ví dụ 2. Cho α là một góc nhọn. Chứng minh rằng: a) sinα<tanα; b) cosαcotα. Giải a) Ta có sin,tanACAC BCAB mà BCAB nên .ACAC BCAB Do đó sinαtanα; b) Ta có cos,cotABAB BCAC Mà BCAB nên .ABAB BCAC Do đó coscot. Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng định nghĩa của tỉ số lượng giác. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: 2.tanBtanC Giải ABC vuông tại A nên 90.oBC Suy ra tanBcot;tanCcot.CB Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM.
Khi đó 1 , 2AHAMAMBC hay 2.BCAM Ta có cot,cot.CHBH CB AHAH Do đó 22 cotcot2CHBHBCAMAH CB AHAHAHAHAH (Dấu “=” xảy ra khi AMAHABC vuông cân tại A). Suy ra tanBtanC2 ( Dấu “=” xảy ra khi ABC vuông cân tại A). Nhận xét: Cách giải như trên là dựa vào quan hệ giữa tang và côtang của hai góc phụ nhau. Nếu dựa vào bất đảng thức Cô-si ta có lời giải rất đơn giản: tantan2.2ACABACAB BC ABACABAC (dấu “=” xảy ra khi ACAB ABAC 22 ABACABACABC vuông cân tại A) Ví dụ 4. Chứng minh định lí sin: Trong một tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ với sin của các góc đối diện: . sinsinsinabc ABC Giải * Tìm cách giải: Để có sinA (hoặc sinB, sinC) thì phải xét tam giác vuông với A là một góc nhọn. Do đó phải vẽ thêm đường cao. * Trình bày lời giải: Vẽ đường cao CH. Xét ∆ACH vuông tại H ta có: sinCH A AC (1) Xét ∆BCH vuông tại H ta có: sinCH B BC (2) Từ (1) và (2) suy ra sin : sinACHCHBCa BACBCACb Do đó . sinsinab AB Chứng minh tương tự ta được . sinsinbc BC Vậy . sinsinsinabc ABC Lưu ý: Nếu ABC có  90oC thì ta vẫn có: sinsinBab A Ví dụ 5. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. Biết diện tích tam giác ADE bằng 3 4 diện tích tam giác ABC. Tính số đo góc A. Giải (g.g).ABDACE∽ Suy ra .ABAD ACAE Do đó .ADAE ABAC  ΔΔADE vaø ABC co ù: A chung:ADAE ABAC Vậy (..).ADEABCcgc∽ Suy ra 2 .    ADE ABC SAD SAB Do đó 233cosAcosAcos30 42o
Vậy 30oA Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dựa vào tam giác đồng dạng. Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Tỉ số đồng dạng này chính là cosA, do đó có thể tính được góc A. Ví dụ 6. Tìm góc x, biết rằng: a) tan3;xcotx b) sincos2.xx Giải a) tan3cotxx . Suy ra 3 tan tanx x (vì 1 cot tanx x ). Do đó 2tan3tan3tan60.oxx Vậy 60.ox b) sincos2xx . Bình phương hai vế ta được: 22sin2sincoscos2xxxx 2sincos12xx (vì 22sincos1xx ) 22 2sincos112sincos0sin2sincoscosxxxxxxxx 2sincos0xx . Do đó sincosxx sinsin90oxx (vì cossin90oxx ) Dẫn tới 9029045.oooxxxx Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ này là tìm cách đưa phương trình có hai tỉ số lượng giác về dạng còn một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng quan hệ giữa các tỉ số lượng giác đó. C. Bài tập vận dụng  Vận dụng định nghĩa sin và côsin 2.1. Cho tam giác ABC vuông tại ,3, 4AABAC . Trên cạnh AC lấy điểm M. Tìm giá trị nhỏ nhất của sin AMB. 2.2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ MNBC . Chứng minh rằng sin .AN C CM 2.3. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao BD và CE. Tính số đo của góc A để diện tích tam giác ADE bằng diện tích tứ giác BCDE. 2.4. Cho tam giác  ,α0α90ooABCA . Vẽ các đường cao BD và CE. a) Chứng minh rằng cosαDEBC ; b) Gọi M là trung điểm của BC. Tính giá trị của α để tam giác MDE là tam giác đều. 2.5. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF. a) Chứng minh rằng 222 ; AEFBFDCDFSSScosAcosBcosC b) Tính diện tích tam giác DEF biết 60, 45ooAB (lấy kết quả với ba chữ số thập phân). 2.6. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên cạnh CD lấy điểm F sao cho 1 4BECF cạnh hình vuông. Tính cos.EAF 2.7. Cho tam giác ,,,ABCABcBCaCAb . Các đường trung tuyến 'AA đường cao 'BB và đường phân giác 'CC đồng quy tại O. Chứng minh rằng cos  b C ab . 2.8. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 1 sinsin.sin. 2228ABC 2.9. Cho tam giác ABC, đường cao AH (H nằm giữa B và C). Vẽ đường trung tuyến AM. Biết 6,4,9AHcmHBcmHCcm . Tính các tỉ số lượng giác của góc HAM.  Vận dụng định nghĩa tang và côtang
2.10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết 4, 10AHcmBCcm . Chứng minh rằng: tan4tanBC hoặc 1 tantan. 4BC 2.11. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, trực tâm H. Cho biết :,HAHDk chứng minh rằng: tan.tan1.BCk 2.12. Cho tam giác ABC vuông tại A có 60oB . Trên cạnh BC lấy điểm M khác B và C sao cho :MBMCk . Vẽ BH và CK cùng vuông góc với đường thẳng AM. Chứng minh rằng: a) 3.;AKBH b) :3AKAHk 2.13. Cho tam giác ABC có diện tích S, góc A tù. Đường cao AH = h. Chứng minh rằng: a) Nếu cot4cotBC thì 22;Sh b) Nếu 22Sh thì cotcot4BC . 2.14. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết 30,40DBcmDCcm và αHDA . Chứng minh rằng: α10o .  Vận dụng các hệ thức cơ bản 2.15. Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lí: a) 22222P123... 8889;ooooosinsinsinsinsin b) 15. 25. 35. 45. 55 65. 75oooooooQtantantantantantantan . 2.16. Biết 20 cosα 29 . Tính sinα,tanα và cotα . 2.17. Cho cos4sinxx . Tính giá trị của tích sincosxx . 2.18. Cho 8sin15cosSxx . Tìm giá trị lớn nhất của S. 2.19. Cho 090oox . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) 44sincos;Axx b) 66sincos.Bxx 2.20. Biết 2 sinαcosα, 5 tính sinα,cosα,tanα và cotα. 2.21. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc α0α90:oo a) 222sinαcosαsinαcosα6sinαcosα; b) 22 2 tanαsinαsinαcosα ; tanαtanα   c) 6622sinαcosα3sinαcosα. 2.22. Cho 1 tanα 4 , tính giá tri cua biêu thức sinα2cosα . 2sinαcosα   M 2.23. Cho 5 tanα 12 , tính giá tri của biểu thức 22 6sinα7cosαN . 2.24. Tam giác ABC có các góc B và góc C nhọn thoả mãn điều kiện 2222 22 sinsintantan coscos2    BCBC BC . Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.  Vận dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau 2.25. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần: a) 69, 65,33,25ooootansincoscot ; b) 65,63,20,28, 66.ooooocoscotsintancos 2.26. Cho α45o Chứng minh rằng: a) sinαcosα; b) tanαcotα.