Title Chuyên đề 18. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.doc ✅

Chuyên đề 18. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ 1. Phương trình trùng phương • Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: 42001axbxca • Để giải phương trình trùng phương, ta đặt ẩn phụ. Đặt 20,xt đưa về phương trình 202atbtc 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau: Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình; Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức; Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được; Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. 3. Phương trình tích • Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0 • Giải phương trình tích 4. Một số dạng khác của phương trình thường gặp - Phương trình bậc bốn dạng xaxbxcxdm với abcd - Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng: 43200axbxcxbxaa - Phương trình hồi quy có dạng 43200axbxcxdxea trong đó 2 ed ab     - Phương trình bậc bốn dạng 44xaxbc - Phương trình phân thức hữu tỉ. Trong phần này chúng ta xét một số dạng sau: • 22 mxnx p axbxdaxcxd  • 22 22 axmxcaxpxc d axnxcaxqxc    • 2 22 axmxcpx d axnxcaxqxc    B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình 43232640xxxx (Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hà Nội, năm học 2009 - 2010) Giải Tìm cách giải. Đây là phương trình bậc 4. Suy luận rất tự nhiên là phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử. Tuy nhiên quan sát các hệ số của vế trái: 1;3;2;6;4 , ta phát hiện ra : 2 46 13     do vậy bài toán có dạng 43200axbxcxdxea trong đó 2 ed ab     Cách giải của phương trình dạng này là: • Bước 1. Xét 0x , hai vế không bằng nhau nên 0x không phải là nghiệm của phương trình. • Bước 2. Xét 0x chia cả hai vế của phương trình cho 2x . Sau đó đặt ẩn phụ. Bài toán có hai cách giải sau: Trình bày lời giải Cách 1 • 0x không phải là nghiệm của phương trình. • Với 0x chia hai vế cho x 2 ta được: 22 22 6442 320320xxxx xxxx    
Đặt 2222 22 244 44yxyxxy xxx Phương trình có dạng 224320320yyyy Giải ra ta được 121;2yy - Với 1y ta có 22 120xxx x Giải ra ta được 1;2xx - Với 2y ta được 22 2220xxx x Giải ra ta được 13;13xx Vậy tập nghiệm của phương trình là 1;2;13;13s Cách 2:       4232 2 222 2 2222 222 22 2 2 443620 23220 222220 22220 2220 201 2202 xxxxx xxxx xxxxxx xxxxxx xxxx xx xx          • Giải phương trình (1): 220xx ta được 121;2xx • Giải phương trình (2): 2220xx ta được 3413;13xx Vậy tập nghiệm của phương trình là 1;2;13;13s Ví dụ 2: Giải phương trình 2232155680xxxx (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2008 - 2009) Giải Tìm cách giải. Khi khai triển, bài toán này có dạng phương trình bậc 4, nên cách giải chung là phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên vế trái có hai ngoặc chứa ẩn, có thể phân tích trực tiếp thành nhân tử. Sau khi phân tích xong ta thấy phương trình có dạng phương trình bậc bốn dạng: xaxbxcxdm với abcd Vì vậy ta có lời giải thứ hai cho dạng toán này như sau: • Bước 1. Viết phương trình dưới dạng: 22xabxabxcdxcdm  • Bước 2. Đặt 2xabxaby . Giải phương trình ẩn y Trình bày lời giải Cách 1:     22 432 432322 2222 22 32155680 12131381200 615636908481200 615661586150 615680 xxxx xxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxx      • Giải phương trình 26150xx ta được 12326;326xx
• Giải phương trình 2680xx ta được 34317;317xx Vậy tập nghiệm của phương trình là: 326;326;317;317s Cách 2: Ta có thể viết: 221278801728806761680xxxxxxxxxxxx Đặt 267xxy phương trình có dạng 2980980yyyy Giải ra ta được 121;8yy • Với 1y ta được 22671680xxxx Giải ra ta được 34317;317xx • Với 8y ta được 226786150xxxx Giải ra ta được 12326;326xx Vậy tập nghiệm của phương trình là: 326;326;317;317s Ví dụ 3: Giải phương trình 22 213 6 35232 xx xxx  Giải Tìm cách giải. Cũng như các ví dụ trên, nếu quy đồng ta được phương trình bậc 4, nên cũng phân tích đa thức thành nhân tử và giải được. Song trong ví dụ này, bài toán có dạng 22 mxnx p axbxdaxcxd  Nên bài toán có hai cách giải khác: - Cách 1. Đặt 2axdt Ta được phương trình chứa cả x và t , rồi phân tích đa thức thành nhân tử. Cách này gọi là đổi biến không hoàn toàn. - Cách 2. Vì 0x không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả tử và mẫu mỗi phân thức ở vế trái cho x , ta được: mn p dd axbaxc xx   Sau đó đặt ẩn phụ rồi giải Trình bày lời giải Cách 1. Đặt 2 32tx phương trình có dạng 213 6 5 xx txtx  Quy đồng khử mẫu, thu gọn ta được: 222131102110ttxtxtx Trường hợp 1 Xét 20320txxx vô nghiệm Trường hợp 2. Xét 22211023211061140txxxxx Giải ra ta được 12 14 ; 23xx Vậy tập nghiệm của phương trinh là: 14 ; 23s   Cách 2. Xét 0x không phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x ta được 213 6 22 3531xx xx   Đặt 2 32xt x phương trình có dạng 213 6 33tt  Quy đồng, khử mẫu và thu gọn ta được: 2 615210tt Giải ra ta được 12 7 1; 2tt
* Trường hợp 1. Xét 1t suy ra 22 321320xxx x vô nghiệm * Trường hợp 2. Xét 7 2t suy ra 227 3261140 2xxx x Giải ta ta được 12 14 ; 23xx Vậy tập nghiệm của phương trình là: 14 ; 23s   Ví dụ 4: Giải phương trình 22 22 336353 435312 xxxx xxxx    (Thi học sinh giỏi, Tinh Trà Vinh, năm học 2009 - 2010) Giải Tìm cách giải. Cũng như các ví dụ trên, nếu quy đồng ta được phương trình bậc 4, nên cũng phân tích đa thức thành nhân tử và giải được. Song trong ví dụ này, Bài toán có dạng 22 22 axmxcaxpxc d axnxcaxqxc    Cách giải thông thường cho dạng toán này là: - Bước 1. Xét 0x hai vế không bằng nhau nên 0x không phải là nghiệm của phương trình. - Bước 2. Xét 0x chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x . Sau đó đặt ẩn phụ, giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức vừa tìm được. Trình bày lời giải • Vì 0x không phải là nghiệm của phương trình. • Điều kiện 0x mỗi phân thức ở vế trái ta chia cả tử và mẫu cho x , ta được:  33 36 53 2 3312 45 xx xx xx xx    Đặt 3 3yx x , phương trình (2) trở thành 353 7212 yy yy    Suy ra  2 12212375327 292414900 yyyyyy yy   Giải ra ta được 12 49 10; 29yy • Với 10y ta được 23 7730xxx x Giải ra ta được 12 737737 ; 22xx  • Với 49 29y ta được 23136 29871360 29xxx x Giải ra ta được 12 682101682101 ; 2929xx  Vậy tập nghiệm của phương trình là: 737737682101682101 ;;; 222929s   Ví dụ 5: Giải phương trình 221844xxxxx Giải Tìm cách giải. Cũng như các ví dụ trên, nếu khai triển vế trái, ta được phương trình bậc 4, nên cũng phân tích đa thức thành nhân tử và giải được. Song trong ví dụ này, phương trình bậc 4 dạng 2xaxbxcxdmx với abcd . Chúng ta có hai cách giải: • Cách 1. Viết đa thức dưới dạng: 222xabxabxcdxcdmx 