Title Chuyên đề 3. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN – BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI.doc ✅

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA Chuyên đề 3. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN – BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn 20ABABB . 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn 2 .ABAB (với 0; 0AB ) 2 ..ABAB ( với 0; 0AB ) 3. Khử mẫu ở biểu thức chứa căn 2 1AAB AB BBB (với 0; 0ABB ) 4. Trục căn thức ở mẫu  0; 0;0;MABMMAM AABAB AABAAB  ∓ 5. Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai Bước 1. Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản. Bước 2. Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: a) 43; 35; 52; 25 ; b) 1 15; 26; 6; 32 3 . Giải Tìm cách giải. Để sắp xếp các căn thức không đồng dạng, chúng ta đưa các thừa số vào trong dấu căn. Sau đó so sánh biểu thức trong căn. Trình bày lời giải a) Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được: 4348 ; 3545 ; 5250 ; 2520 Mà 20454850 . Suy ra thứ tự tăng dần là 25; 35; 43; 52 . b) Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được: 15 ; 2624 ; 1 612 3 ; 3218 . Mà 12151824 . Suy ra thứ tự tăng dần là 1 6; 15; 32; 26 3 Ví dụ 2: Khử căn thức ở mẫu số: 59 357A  Giải Tìm cách giải. Chúng ta không thể vận dụng một lần hằng đẳng thức để khử đồng thời ba căn thức ở mẫu được. Do vậy, chúng ta tìm cách giảm bớt số căn ở mẫu bằng hằng đẳng thức: 22abcabcabcabcab . Sau đó khử thường mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu của mẫu với biểu thức liên hợp. Trình bày lời giải
   2 5935759357593572151 6012151 357 A     3572151A . Ví dụ 3: Thực hiện phép tính. a) 20245380125A ; b) 51511 .342.0,2 3153135B     . Giải Tìm cách giải. Để thực hiện phép tính, bạn luôn chú ý:  Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.  Trục căn thức ở mẫu, khử mẫu của biểu thức lấy căn.  Sau đó thu gọn các căn thức đồng dạng. Trình bày lời giải a) Ta có: 20245380125A 256512555115A . b) Ta có:  2 5113551135 435 .32. 35 135 B     5155135515513535 .2. 35231B     215635 .. 35231B         103.6326332.3.231 2 1523132313.231 B    Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: 3535 235235 R   Giải Tìm cách giải. Nhận xét thấy rằng, mẫu thức chứa biểu thức căn “chồng chất”. Do vậy trước khi thực hiện rút gọn, chúng ta nên khai căn “chồng chất” trước đã. Quan sát thấy, để biến đổi căn “chồng chất” này, chúng ta chỉ cần làm xuất hiện 25 . Do vậy chúng ta có hai hướng biến đổi nhằm xuất hiện yêu cầu đó: Cách 1. Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với 2 . Cách 2. Nhân hai vế với 1 2 . Trình bày lời giải Cách 1. Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với 2 , ta được: 32103210 26252625 R   32103210 251251R   32103210 3535R  
  321035321035 3535 R    92310310529231031052 95R   82 22 4R . Cách 2. Nhân hai vế với 1 2 , ta được: 13535 . 226252625R   13535 . 2251251R   13535 .2 23535R   Suy ra: 22R . Ví dụ 5: Cho biểu thức: 316717 :2 23311 xxxxx A xxxxx      a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để 6A . (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2014 – 2015) Giải Tìm cách giải. Khi rút gọn biểu thức chứa căn thức, chú ý các bước:  Xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa.  Vận dụng các quy tắc của phép tính về phân thức, phép tính về căn thức để đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất. Trình bày lời giải a) TXĐ: 0; 1; 4xxx .   137 172 : 31113 xx xxx A xxxxx         2672 : 311 xxx A xxx      23717191 .2.. 3121212 x xxxxxx A xxxxxxx          9 2 x A x    . b) 966962 2 x Axx x    7219xx (thỏa mãn điều kiện). Vậy để 6A thì 9x . Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức: 22273211 .: 311323222 aaaa P aaaaa      . Giải
Tìm cách giải. Bài toán có nhiều thành phần giống nhau, chúng ta nên đổi biến bằng cách đặt 2ax . Sau đó rút gọn biểu thức với biến x. Trình bày lời giải Đặt 2ax , biểu thức có dạng:  2 22 227311 .: 333112 xxxx P xxxxx         2 2 31329 : 3393 xxxxx P xxxx        2 39224 .: 3333 xxxxx P xxxx       3239 .. 33322 xxxx P xxx      2.33.3 33.322 xxxx P xxx    2 x P  . Vậy 2 2 a P  . Ví dụ 7: Cho các số dương , , xyz thỏa mãn điều kiện 100xyz . Tính giá trị của biểu thức: 10 1011010 yxz A xyxyzyxzz  Giải Tìm cách giải. Quan sát giả thiết và kết luận, chúng ta nhận thấy giữa số 100 và số 10 có liên quan tới nhau: 10100xyz . Do vậy, suy luận tự nhiên chúng ta thay 10 ở biểu thức bằng xyz và biến đổi tiếp. Trình bày lời giải Thay 10100xyz vào biểu thức A, ta có: . 1. yxyzzx A xyxxyzyzyzxxyzzxyz   . 11 1 yzxyzx A yzyzxyzy xyyz    1 111 yyz A yyzyzyyzy  1 1 1 yyz A yyz    . Ví dụ 8: Tính giá trị biểu thức: a) 111 ... 122320242025A  ; b) 1111 ... 47710101330223025T  . Giải Tìm cách giải. Bài toán này không thể quy đồng mẫu thức để thực hiện. Quan sát bài toán ta nhận thấy mỗi biểu thức là một dãy các phân thức viết theo quy luật. Mặt khác quan sát các thành phần trong căn ta có: