Title Chuyên đề 21. QUỸ TÍCH (TÌM TẬP HỢP ĐIỂM).doc ✅

Chuyên đề 21. QUỸ TÍCH (TÌM TẬP HỢP ĐIỂM) A. Kiến thức cần nhớ 1. Các quỹ tích cơ bản Để tìm quỹ tích trong mặt phẳng, người ta thường dựa vào các quỹ tích cơ bản. Một số quỹ tích sau đây thường được mọi người thừa nhận là quỹ tích cơ bản: Quỹ tích 1: Quỹ tích những điểm cách đều hai điểm A và B cố định là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Quỹ tích 2: Quỹ tích những điểm cách đều hai cạnh của một góc là đường phân giác của góc đó. Quỹ tích 3: Quỹ tích những điểm cách đều đường thẳng xy cố định một khoảng a cho trước là hai đường thẳng song song với xy và cách xy một khoảng a cho trước. Quỹ tích 4: Quỹ tích những điểm cách đều điểm O cố định một khoảng R cho trước là đường tròn có tâm là O và bán kính bằng R. Quỹ tích 5: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc  không đổi ( 0180 ) là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng AB. Đặc biệt, nếu 90 thì ta nhận được. Quỹ tích 5a: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. 2. Các bước giải một bài toán quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất  là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:  Phần thuận: Mọi điểm có tính chất  đều thuộc hình H.  Giới hạn. Xem điểm M chỉ thuộc một phần 1H của hình H hay cả hình H.  Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H hoặc thuộc phần 1H (nếu có giới hạn) đều có tính chất  .  Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm M có tính chất  là hình H (hoặc thuộc phần 1H ). B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn đường kính BC. Một điểm A di động sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn và trọng tâm G của tam giác nằm trên nửa đường tròn đó. Tìm quỹ tích điểm A. Giải Tìm cách giải  Nếu gọi BP, CQ là đường trung tuyến, ta luôn có APPC và AQQB . Nếu lấy E đối xứng với C qua B thì BP luôn song song với AE, F đối xứng với B qua C thì CQ luôn song song với AF, mà E, F cố định. Khi G di động thì · 90EAF không đổi nên ta tìm được điểm A di chuyển trên nửa đường tròn đường kính EF.  Vì G là trọng tâm tam giác ABC, nếu gọi O là trung điểm BC thì A, G, O thẳng hàng. Mặt khác G là trọng tâm nên 3.OAOG không đổi. Từ đó suy ra A di chuyển trên đường tròn ;3OR . Trình bày lời giải Phần thuận. Cách 1. Trên đường thẳng BC lấy hai điểm E, F sao cho B là trung điểm CE, C là trung điểm BF. Ta có: 3EFBC cố định (1) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của BG và AC; CG và AB CQ là đường trung bình của ABF nên //CQAF . BP là đường trung bình của ACE nên //BPAE Mà CQBP nên · 90AFAEEAF (2) Từ (1) và (2), suy ra A di động trên đường tròn đường kính EF. Cách 2. Gọi O là trung điểm BC O cố định và A, G, O thẳng hàng. G là trọng tâm ABC nên 3 2OAOGBG . Suy ra A di động trên đường tròn tâm O bán kính 3 2BG . Giới hạn. Do ABC nhọn nên A di động trên cung nhỏ MN (trừ hai điểm M, N). Phần đảo. Lấy điểm A biết bất kì thuộc cung nhỏ MN, gọi G là giao điểm của OA với nửa đường tròn đường kính BC AO là đường trung tuyến của ABC . Ta có 11 23OGBGOAG là trọng tâm ABC .
Kết luận. Vậy tập hợp điểm A là cung nhỏ MN (trừ hai điểm M, N). Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, BC là dây cung bất kì. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CDBC . Gọi P là giao điểm của AC và DO. Tìm quỹ tích điểm P. Giải Tìm cách giải. Ta nghiên cứu tính chất của điểm P. Ta có AC và PO là hai trung tuyến của ABD , do đó 1 3 CP AC ; lại có · 90ACB nên nếu dựng //PECB (với EAB ) thì · 90APE và 1 3 BE AB , như vậy E cũng là một điểm cố định và · 90APE không đổi. Như vậy quỹ tích của điểm P là xác định được. Trình bày lời giải. Phần thuận. Nối AD, vì AC và DO là hai trung tuyến của ABD nên P là trọng tâm tam giác, suy ra 1 3 CP AC . Trên đoạn thẳng AB xác định điểm E sao cho 1 3 BE AB thì điểm E là điểm cố định. Ta có 1 3 CPBE ACAB     nên //PECB (định lý Ta-lét đảo). ··· 90APEACBAPE . Mà A; E là hai điểm cố định nên tập hợp điểm P là đường tròn có đường kính AE. Phần đảo. Lấy điểm P bất kì thuộc đường kính AE. Gọi C là giao điểm thứ hai của tia AP với đường tròn ()O . Gọi D là giao điểm của hai tia BC và OP. Ta có ·· 90;90ACBAPE (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra //DPBE BCEP DOBO . Mà 1122 32.333 BEBEBEDP ABBOBODO . ABD có DO là đường trung tuyến; 2 3 DP P DO là trọng tâm ABDAC là đường trung tuyến CDCB . Kết luận. Vậy quỹ tích điểm P là đường tròn đường kính AE. Ví dụ 3. Cho đường tròn ( ;RO ) và điểm P cố định nằm trong đường tròn). Dây cung AB thay đổi luôn đi qua P. Tiếp tuyến tại A và B với đường tròn cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích điểm M. Giải Tìm cách giải. Nhận thấy I là giao điểm của AB và MO thì I thuộc đường tròn đường kính OP và 2.MIMOR . Do vậy, khai thác yếu tố không đổi này, ta có thể nhận thấy nếu H là hình chiếu của M trên đường thẳng OP thì 2.OPOHR không đổi, suy ra H cố định. Từ đó ta có lời giải. Trình bày lời giải. Phần thuận. Gọi H là hình chiếu của M trên đường thẳng OP. Gọi I là giao điểm của AB và MO. Suy ra ABMO từ đó ta có OHMOIP: (g.g) ..OPOMOH OMOIOH OPOI (1) Mặt khác OAM vuông tại A có: AIMO nên 2.OAOMOI (2) Từ (1) và (2) suy ra 2.OHOPOA 2 R OH OP không đổi

Phần thuận. Ta có · 90ADI mà A, I cố định nên điểm D thuộc nửa đường tròn đường kính AI (bên trái AI). Phần đảo. Lấy điểm D bất kì thuộc nửa đường tròn đường kính AI (bên trái AI). Dựng hình vuông BCDE (thứ tự đỉnh theo chiều kim đồng hồ). Suy ra D, I, E thẳng hàng (vì DI, DE cùng vuông góc với AD). Ta có ··· 90;ABCEBDCBIBABI (chứng minh câu a) ABCIBE (c.g.c) ·· 90ACBIEB C thuộc nửa đường tròn đường kính AB. Kết luận. Vậy quỹ tích các điểm D là nửa đường tròn đường kính AI (bên trái AI).  Tìm quỹ tích điểm F. Phần thuận. Ta có · 90BFK mà B, K cố định nên điểm F thuộc nửa đường tròn đường kính BK (bên phải BK). Phần đảo. Lấy điểm F bất kì thuộc nửa đường tròn đường kính BK (bên phải BK). Dựng hình vuông AGFC (thứ tự đỉnh theo chiều kim đồng hồ). Suy ra G, F, K thẳng hàng (vì GK, FK cùng vuông góc với BK). Ta có ··· 90;BACKAGCAKBAKA (chứng minh câu a) ABCAKG (c.g.c) ·· 90ACBAGK C thuộc nửa đường tròn đường kính AB. Kết luận. Vậy quỹ tích các điểm F là nửa đường tròn đường kính BK (bên trái BK). C. Bài tập vận dụng 21.1. Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Một đường tròn ()O thay đổi luôn đi qua A và B, gọi DE là đường kính của đường tròn ()O vuông góc với d. CD và CE cắt đường tròn ()O lần lượt tại M và N. Khi đường tròn ()O thay đổi thì hai điểm M và N di động trên đường cố định nào? 21.2. Cho đường tròn (;)OR và đoạn thẳng AB cố định nằm bên ngoài đường tròn ()O . Gọi C là một điểm chuyển động trên đường tròn. Tìm tập hợp các trọng tâm G của tam giác ABC. 21.3. Cho đường tròn ()O nội tiếp hình vuông PQRS. OA và OB là hai bán kính thay đổi vuông góc với nhau. Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đưnòg thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP. Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By. (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên tỉnh Phú Yên, năm học 2009 – 2010) 21.4. Cho đường tròn ()O và dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho ADAC . Gọi M là trung điểm của CD. Hỏi M di chuyển trên đường nào? Nêu cách dựng đường này và giới hạn của nó. (Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2007 – 2008) 21.5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm M chuyển động trên đường tròn đó. Gọi H là hình chiếu của điểm M trên AB. Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác OMH. 21.6. Cho góc vuông xOy và điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy. Dựng hình vuông ABCD nằm trong góc xOy. Tìm tập hợp giao điểm I hai đường chéo của hình vuông này. 21.7. Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đó trên đường thẳng d. Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB, AC thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng d. Một điểm H chuyển động trên đoạn AB. Đường thẳng vuông góc với d ở H cắt cả hai nửa đường tròn nói trên lần lượt ở D và E. Gọi M là giao điểm hai đường thẳng DB và EC. Tìm quỹ tích điểm M. 21.8. Cho đường tròn (;)OR và tam giác cân ABC có ABAC nội tiếp đường tròn (;)OR . Kẻ đường kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Gọi Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MDMC . a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của góc BMx. b) Gọi K là giao thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn ()O . Tứ giác MIKD là hình gì? Vì sao? c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK. Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì G luôn nằm trên một đường tròn cố định.