Title Toán 12_Tập 2 C5_Bài 2. Phương trình đường thẳng CTST_bản GV.pdf ✅

1 Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian A. Kiến thức cần nhớ 1. Phương trình đường thẳng trong không gian  Vectơ a 0 là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) nếu giá của nó song song hoặc trùng với đường thẳng (d).  Chú ý: Nếu a là véctơ chỉ phương của đường thẳng d thì ka k 0 cũng là véctơ chỉ phương của đường thẳng d.  Đường thẳng (d) đi qua ( ; ; ) M x y z o o o o và có véctơ chỉ phương 1 2 3 a a a a ; ; thì có phương trình tham số: (d): 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t z z a t , với t (t được gọi là tham số).  Đường thẳng (d) đi qua ( ; ; ) M x y z o o o o và có véctơ chỉ phương 1 2 3 a a a a ; ; thì có phương trình chính tắc: (d): 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Cho hai thẳng (d): 0 1 0 2 0 3 x x ta y y ta z z ta đi qua ( ; ; ) M x y z o o o và có TTCP 1 1 2 3 u a a a ; ; và (d’): 0 1 0 2 0 3 ' ' ' ' ' ' ' ' ' x x t a y y t a z z t a đi qua ( ; ; ) N x y z o o o và có véctơ chỉ phương 2 1 2 3 u a a a ; ; . Khi đó :  1 2 / / ' ' ku , d d M d u k hoặc 1 2 1 , 0 , 0 u u u MN .  1 2 ' ' ku , d d M d u k hoặc 1 2 1 , 0 , 0 u u u MN .  d cắt d 1 1 2 2 3 3 x a t x a t y a t y a t z a t z a t có đúng 1 nghiệm hoặc 1 2 1 2 , 0 , . 0 u u u u MN .  d và d chéo nhau 1 2 . u u MN , 0 .  d d 1 1 2 2 3 3 a a a a a a . ' . ' . ' 0 .
2 Sơ đồ xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 3. Góc a) Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng 1 d và 2 d có VTCP 1 1 1 1 u a b c ( ; ; ) và 2 2 2 2 u a b c ( ; ; ). 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos( ; ) cos , . . u u a a b b c c d d u u u u a b c a b c với 0 90 . b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP ( ; ; ) d u a b c và mặt ( ) P có VTPT ( ) ( ; ; ) P n A B C thì ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) . sin ;( ) cos( ; ) . d P d P d P u n aA bB cC d P u n u n a b c A B C với 0 90 . c) Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1 ( ): 0 Ax B y C z D và 2 2 2 2 ( ): 0. Ax B y C z D Ta luôn có: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . cos ( ),( ) cos ; . . n n AA B B C C n n n n A B C A B C B. Các dạng bài tập & phương pháp giải Dạng 1. Tìm vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng, phương trình đường thẳng Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hình chóp O.ABC có A B (2;0;0), (0;4;0) và C(0;0;7) . SƠ ĐỒ
3 a) Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, AC. b) Vectơ v  ( 1;2;0) có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB không? Lời giải tham khảo a) Ta có AB  ( 2;4;0) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB; AC  ( 2;0;7) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AC. b) Vì 1 ( 1;2;0) 2 v AB    nên v là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Ví dụ 2. Cho đường thẳng d có phương trình tham số 2 6 11 2 ( ) 4 x t y t t z t             . a) Tìm hai vectơ chỉ phương của d . b) Tìm các điểm trên d ứng với t lần lượt bằng 0;2; 3 . Lời giải tham khảo a) Từ phương trình tham số, ta có a  (6;2;4) là một vectơ chỉ phương của d . Chọn 1 (3;1;2) 2 b a   , ta có b cũng là một vectơ chỉ phương của d . b) Thay t  0 vào phương trình tham số của d , ta được: 2 6.0 2 11 2.0 hay 11 4.0 0. x x y y z z                     Vậy A( 2;11;0)  . Tương tự, với t  2 thì B(10;15;8) , với t  3 thì C( 20;5; 12)   . Ví dụ 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm 0 M (1;2;3) và nhận a   (4;5; 7) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng d có đi qua điểm A(1;1;5) không? Lời giải tham khảo Ta có phương trình tham số của d là: 1 4 2 5 3 7 x t y t z t            Thay x  1 vào phương trình x t  1 4 , ta được 114   t , suy ra t  0 .
4 Thay y 1 và t  0 vào phương trình y t  2 5 , ta thấy phương trình không thoả mãn. Suy ra đường thẳng d không đi qua điểm A . Ví dụ 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm 0 M (1;2;3) và nhận a   (4;5; 7) làm vectơ chỉ phương. Lời giải tham khảo Đường thẳng d có phương trình chính tắc là: 1 2 3 4 5 7 x y z       . Ví dụ 5. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB, biết A(1;1;5) và B(3;5;8). Lời giải tham khảo Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là AB  (2;4;3) nên có phương trình tham số: 1 2 1 4 5 3 x t y t z t            và phương trình chính tắc: 1 1 5 . 2 4 3 x y z      Dạng 2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Ví dụ 6. Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau: a) 1 : 2 1 2 x t d y t z t            và 2 2 : 5 2 1 4 x t d y t z t                b) 1 2 1 : 112 x y z d      và 2 3 3 : 3 3 6 x y z d       . Lời giải tham khảo a) Đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;1) và có vectơ chỉ phương a  (1;1;2) . Đường thẳng d  có vectơ chỉ phương a a (2;2;4) 2    . Thay toạ độ điểm M vào phương trình của d  , ta được: 1 2 1 2 2 3 2 5 2 (vô nghi?m). 2 114 0 t t t t t t                                     Suy ra M không thuộc d  . Vậy d d //  . b ) Đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;1) và có vectơ chỉ phương a  (1;1;2) . Đường thẳng d  có vectơ chỉ phương a a (3;3;6) 3    . Thay toạ độ điểm M vào phương trình của d  , ta được: 1 2 2 3 1 3 . 3 3 6      Phương trình nghiệm đúng, suy ra M thuộc d  . Vậy d d  .