Title CHỦ ĐỀ 5. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ.doc ✅

CHỦ ĐỀ 5. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CƠ BẢN KIẾN THỨC CẦN NHỚ  2 0gx fxgx fxgx      Ví dụ 1. Giải các phương trình: a. 22641xxx b. 2149xxx Lời giải: a. Phương trình tương đương với:  222 11 410 414 2641 1310151050 xxx x xxx xxxx         Kết luận 1x là nghiệm của phương trình. b. Điều kiện: 0x . Bình phương 2 vế ta được: 2222 8 312249228 428 x xxxxxxx xxx      2 4 8 16 712640 7 x x xxx        . Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có 4x là nghiệm của phương trình. Ví dụ 2. Giải các phương trình: a. 22275xxxx . b. 3123351xxx . Lời giải: a. Điều kiện 2 2 20 70 xx xx     thỏa mãn với mọi x. Ta viết phương trình lại thành 22 257xxxx và bình phương 2 vế rồi ta có 222 22 222 187518 2732251077 xxxxxx xxxxxxxxxx      21 2120 2 x xxxx x      Kết luận 2;1x . b. Điều kiện: 310 1 30 5 510 x xx x       . Bình phương 2 vế phương trình ta thu được: 3143431395123131911xxxxxxxx  222 1111 19110 1919 43103361418121 134910903493781090 xxx xxxx xxxx         1x . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1x . MỘT SỐ CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ KHÁC 1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn để quy về phương trình một ẩn

Vì vậy ta chia hai vế cho x thì thu được: 331111 220xxxx xxxx Đặt 31 tx x ta thu được phương trình: 32115 201110 2tttxxxx x   . Kết luận: Phương trình có nghiệm 15 2x  . e. Điều kiện: 2 0023 41023 xx xxx      . Ta thấy 0x không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế cho x ta thu được: 11 43xx xx . Đặt 211 2txtx xx , theo bất đẳng thức Cô si ta có 2t . Thay vào phương trình ta có: 2 22 35 63 2669 t ttt ttt     2 4 251 2417401 4 4 x xxx xx      . Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm: 1 4, 4xx . f. Nhận xét: 0x không phải là nghiệm của phương trình. Ta chia hai vế cho x khi đó phương trình trở thành: 11 230xx xx . Đặt 1 0tx x phương trình trở thành: 22115 2301110 2tttxxxx x   . Ví dụ 2. Giải các phương trình: a. 21342343522816415xxxxxx b. 73747732xxx . Lời giải: a. Điều kiện 35 22x . Phương trình được viết lại như sau: 72352223235252285223xxxxxxxx . Đặt 2223525223 2 t txxxx  . Điều kiện 22t . Phương trình đã cho có dạng: 3246022ttttx . Ngoài ra ta cũng có thể giải phương trình trên bằng cách đưa về hệ. b. Điều kiện: 7 7 3x . Phương trình đã cho được viết lại như sau: 131337737737732 2222xxxxxx    37737737764xxxxxx Đặt 377txx 33737773377377txxxxxxxx
Từ phương trình suy ra 3644tt . Hay 3774xx Bình phương 2 vế ta thu được: 2112237784441130 2xxxxxx  Tại sao ta phân tích được hai phương trình như trên: Ta thấy với những phương trình: 0axbcxdexhgxkrcxdgxks thì một trong những cách xử lý khá hiệu quả là: Phân tích: axbmcxdngxk và exhmcxdngxk sau đó ta có thể đặt ẩn phụ trực tiếp, hoặc đặt hai ẩn phụ để quy về hệ. Ví dụ: Khi giải phương trình: 21342343522816415xxxxxx ta thực hiện cách phân tích: + Giả sử: 1342352xmxnx Đồng nhất hai vế ta suy ra: 22437 , 351322 mn mn mn     + Tương tự ta giả sử: 73432352; 22xmxnxmn Khi giải phương trình: 73747732xxx . Ta thực hiện phân tích: 3777mxnx và 37747pxqxx Sau đó đồng nhất 2 vế đề tìm ,,,mnpq ta có: 1331 ;;; 2222mnpq Như vậy, ngoài cách đặt ẩn phụ như trên ta có thể giải các bài toán theo cách khác như sau: a. Điều kiện: 35 22x Đặt 23, 52axbx thì 222ab . Từ cách phân tích trên ta có hệ sau:    222 22223 222 3737416321640 ababab abababababababab         2 322 22 328240 abab abababab       Đặt , abSabP . Điều kiện: 2,0; 4SPSP . Ta có hệ mới sau: 2 32 222 12 2282120 SPS abx PSSS     . b. Đặt 37, 7axbx ta có hệ phương trình 3 22 22 464 314314 abab abab      . Giải hệ phương trình ta thu được: ,abx . 2. Đặt ẩn phụ hoàn toàn để quy về hệ đối xứng loại 2 Phương pháp này đặc biệt hiệu quả với các phương trình dạng: 2axbxcdexh hoặc 32 3 axbxcxdegxh Với mục đích tạo ra các hệ đối xứng hoặc gần đối xứng ta thường làm theo cách: Đối với những phương trình dạng: 2axbxcdexh . Ta đặt mynexh thì thu được quan hệ: