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B. E. 2023–2024 Algèbre commutative Cours Ma511 et exercices Version du 17 décembre 2023 UVSQ Département de mathématiques

Table des matières  The Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Factorisation en nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Applications. Relations. Factorisation canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . Liste des structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . Diviseurs de zéro. Les aventures du 1. Corps des fractions . . . . . . . . . . . 16 . Exemples de constructions par quotient : Z, Q et R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . Le corps C des nombre complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . Anneaux principaux. Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 . Anneaux euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 . Anneaux factoriels. Irréductibles et premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 . Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62  Anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 . Anneau quotient A/I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 . L’anneau Z/nZ. Groupes cycliques. Ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . 73 . Idéaux d’un anneau quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 . Idéaux premiers et idéaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 . Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87  Polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 . Anneau A[[X]] des séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 . L’anneau A[X] des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 . Morphisme d’évaluation (spécialisation, substitution) . . . . . . . . . . . . . . . 101 . Polynôme dérivé et formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103