Title CHUYÊN ĐỀ 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.pdf ✅

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHUYÊN ĐỀ 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn ở trong căn thức. Phương trình vô tỉ xuất hiện rất nhiều trong các kì thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi lớp 9. Sự phong phú về các dạng phương trình vô tỉ và sự đa dạng về phương pháp giải đã gây không ít khó khăn cho các em học sinh. Dù sao thì phương trình vô tỉ vẫn có tư tưởng giải chung là tìm cách làm mất căn thức, chuyển về phương trình bậc nhất, bậc hai. Do đó, để nắm tốt các kĩ năng biến đổi trong các cách giải phương trình vô tỉ thì trước hết phải nắm được những kiến thức cơ bản về căn thức và các phép biến đổi phương trình. Trong chuyên đề này, chúng tôi trình bày phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng phép biến đổi tương đương. Trước hết, các em cần nắm những kiến thức cơ bản về căn thức:  có   nghĩa ;  có nghĩa có nghĩa; 2n f x  f  x  0   2n 1 f x   f  x  ;  với mọi ; 2 2 0 0 n n a khi a a a a khi a        2n 1 2n 1 a a    a   ,   với mọi ;  với mọi . 2 2 n n a  a a  0   2 1 2 1 n n a a    a  Các tính chất trên là điều kiện để căn thức tồn tại và cách khử căn thức. Khi giải phương trình vô tỉ, ta thực hiện các phép biến đổi để làm xuất hiện lũy thừa trong căn hoặc lũy thừa ngoài căn nhằm loại bỏ căn thức. Sau đây là các phương trình vô tỉ dạng cơ bản:  ;           2 2 0 n n g x f x g x f x g x               .         2 1 2 1 n n f x g x f x g x          Ví dụ 1. Giải các phương trình: 1) ; x  2 x 1  x  2 x 1  4 2) x  2x  5  2  x  3 2x  5  2  3 2 Hướng dẫn giải 1) Để giải phương trình ta có hai cách sau Cách 1: Điều kiện: . x 1 Ta có và , nên   phương trình đã cho 2 x  2 x 1  x 1 2 x 1 1  x 1 1   2 x  2 x 1  x 1 1 tương đương với x 1 1  x 1 1  4  x 1 1  x 1 1  4 (1).
+) . Khi x 1 1 0  x  2 đó . 1  x 1 1 x 1 1  4  x 1  2  x  5 +) . Khi x 1 1 0 1 x  2 đó (vô 1   x 1 1 x 1 1  4  2  4 nghiệm). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . x  5 Cách 2: Điều kiện: . x 1 Bình phương hai vế ta được x  2 x 1  2  x  2 x 1 x  2 x 1  x  2 x 1 16 (2). 2  x  x  4x  4  8  x  x  2  8 +) , ta có . x  2 2  x  x  2  8  x  5 +) , ta có x  2 2  x  x  2  8 phương trình vô nghiệm. Vậy là x  5 nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 2) Điều kiện: . 5 2 x  Nhân hai vế của phương trình với ta 2 được 2x  2 2x  5  4  2x  6 2x  5  4  6     2 2  2x  5 1  2x  5  3  6  2x  5 1 2x  5  3  6 (3). +) . Khi 2x  5  3  0  2x  5  3  x  7 đó   (nhận). 21 3 2 5 1 2 5 3 6 2 5 4 2  x    x     x    x  +) , khi đó (vô nghiệm). 5 7 2  x  3  2x  5 1 2x  5  3  6  4  6 Vậy phương trình đã cho có nghiệm . 21 2 x  Nhận xét: Hai ví dụ trên thể hiện bản chất của việc giải phương trình vô tỉ là tìm cách khử căn thức. Để khử căn bậc hai, ta cần tạo ra bình phương trong căn và sử dụng hằng đẳng thức hoặc tạo ra bình 2 A  A phương ngoài căn và sử dụng đẳng thức   với mọi . 2 a  a a  0 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 1) ; 2) . 2 x  3x 1  x  2 2 2 x  2x  8  3x  2 Hướng dẫn giải 1) Ta có   2 2 2 2 0 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x                
2 2 2 2 3 3 1 4 4 7 3 7 x x x x x x x x                       Vậy tập nghiệm của phương trình là . 3 7 S        2) Ta có 2 2 2 x  2x  8  3x  2  2 x  2x  8  2  3x     2 2 2 2 2 2 3 0 3 4 2 8 2 3 4 8 32 4 12 9                        x x x x x x x x x                         2 2 2 3 3 2 14 5x 4x 28 0 2 hoaëc 5 x x x x x Vậy tập nghiệm của phương trình là . S  2 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: 1) ; 2) . 1 2x  1 2x  4  x 3x 1  2  x  3x  2 Hướng dẫn giải 1) Điều kiện: . 1 1 2 2   x  Vì hai vế của phương trình luôn không âm, nên bình phương hai vế của phương trình ta được   2 1 2x  1 2x  4  x 1 2x  2 1 2x1 2x 1 2x  4  x     2 2 2 2 0 2 1 4 2 4 1 4 2 x x x x x               hoặc . 2 2 2 2 0 2 0 4 16 4 4 17 4 0 x x x x x x x x                     4 17 x   Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là . 4 0; 17 S         2) Điều kiện: . 2 2 3  x  Phương trình tương đương với 3x 1  3x  2  2  x  3x 1  3x  2  2 3x  22  x  2  x 2  x 1  2 3x  8x  4
    2 2 1 0 1 4 3 8 4 x x x x             .                       2 1 1 17 17 1 hoaëc 13x 30x 17 0 1 hoaëc 13 13 x x x x x x Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là . 17 1;13 S        Chú ý: Với phương trình có dạng m f  x  n g  x  p h x với ta m,n, p  0 giải như sau: Bình phương hai vế của phương trình .           2 2 2 2mn f x .g x  p h x  m f x  n g x Đây là phương trình cơ bản. Giải phương trình này và đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của phương trình. Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: 1) ; 2) .   2 2 x  2  2 x 1 x  x 1  3x 3x  2  2x 1  x  3 Hướng dẫn giải 1) Điều kiện: 2 x  x 1 0 Cô lập căn thức, ta có   2 2 x  3x  2  2 x 1 x  x 1 Chú ý, tam thức có hai nghiệm nên ta có 2 x  3x  2 x 1, x  2    2 x  3x  2  x 1 x  2 Phương trình      2  x 1 x  2  2 x 1 x  x 1 . 2 1 2 2 1(*) x x x x          Phương trình     2 2 2 (*) 2 4 1 x x x x           hệ này vô nghiệm. 2 2 3 8 8 0 x x x         Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là . S  1 2) Điều kiện: . 1 2 x  Quan sát các biểu thức xuất hiện trong phương trình, ta thấy mối quan hệ sau: x  3  3x  2  2x 1   3x  2  2x 1 3x  2  2x 1 Nên phương trình đã cho tương đương với 3x  2  2x 1   3x  2  2x 1 3x  2  2x 1 .