Title HSG T7.- CĐ 18 - BA ĐIỂM THẲNG HÀNG (22 TRANG).pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1 hình 1 D A B C hình 2 a A B C hình 3 a C B A hình 4 y x O A B hình 1 D A B C HH7. CHUYÊN ĐỀ 18 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 1. Nếu   0 ABD DBC  180 thì ba điểm A B C , , thẳng hàng. ( Hình 1) 2. Tiên đề Ơ – Clit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó ( Hình 2) 3. Có một và chỉ một đường thẳng a ' đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước. ( Hình 3) Nếu AB a AC A ;   thì ba điểm A B C , , thẳng hàng. Hoặc A B C , , cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng . 4. Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác ( Hình 4) Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O A B , , thẳng hàng. * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , xOA xOB    thì ba điểm O A B , , thẳng hàng. 5. Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm (Nếu K là trung điểm ’ BD K, là giao điểm của BD và AC . Nếu ’ K là trung điểm BD thì ’ K K thì A K C , , thẳng hàng.) PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. Dạng 1. Sử dụng tính chất 2 góc kề bù chứng minh 3 điểm thẳng hàng. I.Phương pháp giải. Nếu   0 ABD DBC  180 thì ba điểm A B C , , thẳng hàng. II.Bài toán. Bài 1. Cho tam giác ABC vuông ở A M, là trung điểm AC . Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC ). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD AB  . Chứng minh ba điểm B M D , , thẳng hàng. Gợi ý: Muốn B M D , , thẳng hàng cần chứng minh   0 BMC CMD  180
CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 2 hình 6 // // N M A E D B C M C A B x D Do   0 AMB BMC  180 nên cần chứng minh  AMB DMC   LỜI GIẢI: Xét AMB và CMD có: CD AB  (gt).   0 BAM DCM   90 MA MC  ( M là trung điểm AC ) Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:  AMB DMC   Mà   0 AMB BMC  180 (kề bù) nên   0 BMC CMD  180 . Vậy ba điểm B M D , , thẳng hàng. Bài 2. Cho tam giác ABC . Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD AB  , trên tia đối tia AC lấy điểm E mà AE AC  . Gọi M N, lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM EN  . Chứng minh ba điểm M A N , , thẳng hàng. Gợi ý: Chứng minh   0 CAM CAN  180 từ đó suy ra ba điểm M A N , , thẳng hàng. LỜI GIẢI Xét    ABC ADE (c.g.c)     C E Xét    ACM AEN (c.g.c)   MAC NAE   Mà   0 EAN CAN  180 (vì ba điểm E A C , , thẳng hàng) nên   0 CAM CAN  180 Vậy ba điểm M A N , , thẳng hàng (đpcm) Bài 3. Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của MA lấy điểm E sao cho MA ME  a, Chứng minh rằng AC EB AC EB  , / / b, Gọi I là một điểm trên AC K, là một điểm trên EB sao cho AI EK  . Chứng minh ba điểm I M K , , thẳng hàng. LỜI GIẢI a) AMC và EMB có MA ME  ,  AMC EMC MB MC    ;     AMC EMC c .g.c    AC EB CAM MEB ;    AC BD / / b) AIM và EKM có AM EM  ; CAM MEB AI EK AIM EKM c g c         ; . .      AMI EMK  mà  AMI IME EMK IME       180 180 0 0    I M K , , thẳng hàng Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , và  B =60°. Vẽ tia Cx BC  và lấy CE CA  (CE và CA cùng phía với BC ). Trên tia đối tia BC và lấy F sao cho BF BA  . Chứng minh rằng: a) ACE đều b) E A F , , thẳng hàng K E B M C A I
CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 3 I M N E D H A B C LỜI GIẢI: Tìm cách giải: Nhận thấy tam giác ABC vuông tại A ,  B =60° nên  ACB =30° suy ra  ACE =60 nên tam giác ACE đều. Do đó muốn chứng tỏ E A F , , thẳng hàng thì ta chỉ cần chứng tỏ BAF    30 Hướng dẫn: a) ABC vuông tại A ,  B =60° nên  ACB =30° suy ra  ACE =60° nên tam giác ACE đều b) Ta có BA BF  BFA cân    ABC BAF 2  suy ra BAF  =30° Vậy ba điểm E A F , , thẳng hàng Bài 5. Cho tam giác ABC có AB AC  , kẻ tia phân giác AD của góc BAC . Trên cạch AC lấy điểm E sao cho AE AB  . Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF AC  . Chứng minh rằng a,    ADF EDC b, F D E , , thẳng hàng c, AD FC  LỜI GIẢI a) ABD và AED có AB AE BAD EAD AD   ; ;   là cạnh chung        ABD ED c g c BD ED ABD AED  . . ;    Mặt khác  ABD DBF AED DEC      180 ; 180 0 0   nên DBF DEC    Ta có AF AC AB AE BF EC     ; . DBF và có DB DE      BDF EDC g c c. .  b)    BDF EDC   BDF EDC   mà   0 BDF FDC  180   0    EDC FDC 180  F D E , , thẳng hàng . c) Gọi H là giao điểm của AD và CF . AHE và AHC có AF AC FAH CAH AH   ; ;   chung      AHE AHC c g c AHF AHC  . .    mà   0 AHF AHC  180   0    AHF AHC 90 Vậy AH FC  hay AD FC  Bài 6. Cho tam giác ABC . vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là   ADB ACE ; có AD AD AC AE   ; , kẻ AH vuông góc với BC ; DM vuông góc với AH và EN vuông góc AH . Chứng minh rằng a, DM AH  b, Gọi I là trung điểm của MN . Chứng minh rằng D I E , , thẳng hàng LỜI GIẢI E H F D C A B C A B E x F
CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 4 hình 2 a A B C Hình 7 = = / / E D N M B C A * * X X / / = = M C N x O B D A a) Ta có DMA vuông tại M nên   0 MDA MAD   90 mà   0 BAH MAD   90 ( vì  0 BAD  90 )   MDA BAH   . Xét DMA và AHB có   0 DMA AHB   90 ; MDA BAH AD AB     ; nên    DMA HB ( cạnh huyền, góc nhọn )   DM AH b) Chứng minh tương tự câu a, ta có :    ANE CHA , suy ra AH EN  Xét MID và NIE có    0 IMD INE   90 , IM IN DM DN AH    ,   , suy ra      MID NIE c g c MID NIE  . .    Mặt khác MID NID NIE NID        180 180 0 0   Vậy D I E , , thẳng hàng. Dạng 2. Sử dụng tiên đề Ơ-clit chứng minh 3 điểm thẳng hàng I.Phương pháp giải. Nếu AB a / / , và AC a / / thì ba điểm A B C , , thẳng hàng. II.Bài toán. Bài 1. Cho tam giác ABC . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AC AB , . Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC . Chứng minh ba điểm E A D , , thẳng hàng. Hướng dẫn: Ta chứng minh AD BC và AE BC / / / / LỜI GIẢI. Xét BMC và DMA có: MC MA  (do M là trung điểm AC ) BMC DMA    (hai góc đối đỉnh) MB MD  (do M là trung điểm BD ) Vậy:    BMC DMA (c.g.c) Suy ra:  ACB DAC   , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC AD / / (1) Chứng minh tương tự : BC AE / / (2) Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E A D , , thẳng hàng. Bài 2. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM , trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN . Chứng minh ba điểm M C N , , thẳng hàng. Hướng dẫn: Chứng minh: CM BD và CN BD / / / / từ đó suy ra M C N , , thẳng hàng. LỜI GIẢI Xét AOD và COB có: OA OC  (vì O là trung điểm AC )  AOD COB   (hai góc đối đỉnh)