Title Bài 1_Vectơ và các phép toán trong không gian_Lời giải_Phần 1_Toán 12_CTST.docx ✅

CHƯƠNG II: VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: VECTO VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. VECTO TRONG KHONG GIAN Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Chú ý: - Kí hiệu AB→ chi vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B . - Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là ,,,,uvxy→→→→ Ví dụ 1. Cho hình tứ diện  ABCD . Hãy chi ra các vectơ có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện. Lời giải Ta có ba vectơ ,,BABCBD→→→ có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện. Trong không gian, các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ; độ dài của vectơ; hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau, đối nhau; vectơ-không được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng. Chú ý: Trong không gian, cho điểm O và vectơ a→ , tồn tại duy nhất điểm M để OMa→ → . Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCDABCD (Hình 3). a) Giá của ba vectơ ,,ABADAA→→→ có cùng nằm trong một mặt phẳng không? b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB→ . c) Tìm các vectơ đối của vectơ AD→ . Lời giải
a) Giá cúa ba vectơ ,,ABADAA→→→ lần lượt là ba đường thẳng ,,ABADAA . Chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng vì bốn điểm ,,,ABDA không đồng phẳng. b) Do ABCDABCD là hình hộp nên AABB là hình bình hành, suy ra //ABAB và ABAB . Ta có hai vectơ AB và AB cùng hướng và có độ dài bằng nhau, suy ra ABAB . Tương tự, ta cũng có ABDC và ABDC . c) Hai vectơ AD→ và DA→ có độ dài bằng nhau và ngược hướng, suy ra DA là vectơ đối của AD . Ta có ABCD là hình bình hành, suy ra AD→ có cùng độ dài và ngược hướng với CB→ , suy ra CB là vectơ đối của AD→ . Tương tự, ta cũng có ,DACB là vectơ đối của AD→ . II. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 1. Tổng của hai vectơ Một cách tổng quát, ta có Trong không gian, cho hai vectơ ,ab→ → . Lấy điểm O bất kì và hai điểm A, Bbsao cho ,OAaABb→→→ → . Ta gọi OB→ là tổng của hai vecto a→ và b→ , kí hiệu ab→→ . Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Nhận xét: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng. - Tính chất giao hoán: abba→→→→ ; - Tính chất kết hợp: ()()abcabc→→→→→→ ; - Với mọi vectơ a→ , ta luôn có: 00aaa→→→→→ . Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ ,,abc→ →→ là ().abcabc→→→→→→ Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành vẫn đúng với các vectơ trong không gian. - Với ba điểm ,,ABC ta có .ABBCAC→→→ - Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có . ABADAC→→→
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABCABC . Tìm các vectơ tổng ,BAACBCAA→→→→ . Lời giải Ta có ABCABC là hình lăng trụ nên AACC là hình bình hành, suy ra ACAC→→ . Do đó BAACBAACBC→→→→→ . Tương tự, ta cũng có AABB là hình bình hành, suy ra AABB→→ . Do đó BCAABCBBBC→→→ . 2. Quy tắc hình hộp Cho hình hộp ABCDABCD . Ta có: .ABADAAAC→→→→ Ví dụ 4. Cho hình hộp ,ABCDEFGH . Tìm các vectơ: a) CBCDCG→→→ b) ABCGEH→→→ .
Lời giải a) Theo quy tắc hình hộp, ta có CBCDCGCE . b) Ta có ,CGAEEHAD→→→→ . Suy ra: ABCGEHABAEAD→→→→→→ . Theo quy tắc hình hộp, ta có ABAEADAG→→→→ . Vậy ABCGEHAG→→→→ . Ví dụ 5. Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc 100 và có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N . Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 4 N . Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. Lời giải Gọi 123,,FFF→→→ là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 25 N,12 N,4 N . Vẽ 123,,OAFOBFOCF→→→→→→ . Vẽ hình bình hành OADB và hình bình hành ODEC . Hợp lực tác động vào vật là . FOAOBOCODOCOE→→→→→→→ Áp dụng định lí côsin trong tam giác OBD , ta có : 22222 2cos2cos100ODBDOBBDOBOBDOAOBOAOB∘ . Vì OCOADB nên OCOD , suy ra ODEC là hình chữ nhật. Do đó tam giác ODE vuông tại D . Ta có 2222222cos100OEOCODOCOAOBOAOB∘ . Suy ra 2222cos100OEOCOAOBOAOB∘2224251222512cos10026.∘ Vậy độ lớn cúa hợp lực là 26 NF . 3. Hiệu của 2 vectơ Trong không gian, cho hai vectơ ,ab→ → . Ta gọi ()ab→→ là hiệu của hai vectơ a→ và b→ , kí hiệu ab→→ . Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.