Title Bài 19__Lời giải_Toán 12_KNTT.pdf ✅

BÀI 19: CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ❶. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN HĐ1: Hình thành công thức xác suất toàn phần Tình huống mở đầu Số khán giả đến xem buổi biểu diễn ca nhạc ngoài trời phụ thuộc vào thời tiết. Giả sử, nếu trời không mưa thì xác suất để bán hết vé là 0,9; còn nếu trời mưa thì xác suất để bán hết vé chỉ là 0,4. Dự báo thời tiết cho thấy xác suất để trời mưa vào buổi biểu diễn là 0,75. Nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất để bán được hết vé là bao nhiêu. Gọi A là biến cố “Trời mưa” và B là biến cố “Bán hết vé” trong tình huống mở đầu. a) Tính P A , ,P B A , ( ) P P B A ( A) ( ∣ ∣ ) ( ). b) Trong hai xác suất P A( ) và P B( ) , nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất nào nhất? Lời giải a) Với A là biến cố "Trời mưa" và B là biến cố "Bán hết vé". Theo bài ra ta có: P A 0,75 ( ) = . Suy ra P 1 P A 1 0,75 0,25 ( A) = − = − = ( ) . Lại có: nếu trời mưa thì xác suất bán hết vé là 0,4 . Vậy P B A 0, 4 ( ∣ ) = .
nếu trời không mưa thì xác suất bán hết vé là 0,9 . Vậy P B A ( ∣ ) = 0,9 . b) Nhà tổ chức quan tâm tới P B( ) nhất. Định Nghĩa: Cho hai biến cố A và B . Khi đó, ta có công thức sau: P B P A P B A P ( ) =  +  ( ) ( ∣ ∣ ) ( A) P B A ( ) Công thức trên được gọi là công thức xác suất toàn phần. Ví dụ 1: Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suá́t để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7. Xét một tuần mà thứ Hai ông An đi làm bằng xe buýt. Tính xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy. Lời giải Gọi A là biến cố: "Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy"; B là biến cố: "Thư Tư, ông An đi làm bằng xe máy". Ta cần tính P B( ) . Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: P A (B P A P B P P B A ) =  +  ( ) ( ∣ ∣ ) ( A) ( ). Tính P A( ) : Vì thứ Hai, ông An đi làm bằng xe buýt nên xác suất để thứ Ba (hôm sau), ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Vậy P A( ) = 0, 4 . Tính P( A) : Ta có P( A) = − = 1 0,4 0,6 . Tính P B A ( ∣ ) : Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba , ông An đi làm bằng xe máy. Theo giả thiết, nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7 và đi làm bằng xe máy là 1 0,7 0,3 − = . Do đó, nếu thứ Ba , ông An đi Tính P B A ( ∣ ) : Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông An đi làm bằng xe buýt. Theo giả thiết, nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Do đó nếu thứ Ba , ông An đi làm bằng xe buýt thì P B P A P B A P B ( ) =  +  =  +  = ( ) ( ∣ ∣ ) ( A) P A ( ) 0,4 0,3 0,6 0,4 0,36. Luyện tập 1: Trở lại tình huống mở đầu Mục 1. Tính xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé. Lời giải Gọi A là biến cố: "Trời mưa" và B là biến cố: "Bán hết vé". Từ HĐ 1a, ta có: P A 0,75;P 1 P A 0,25 ( ) = = − = ( A) ( ) ; P B A 0,4; 0,9. ( ∣ ∣ ) = = P B A ( ) Thay vào công thức xác suất toàn phần ta được P B P A P B A P 0,75 0,4 0,25 0,9 0,525. ( ) =  +  =  +  = ( ) ( ∣ ∣ ) ( A) P B( A) Vậy xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé là 0,525 .
Chú ý: Một phương pháp mô tả trực quan công thức xác suất toàn phần là dùng sơ đồ hinh cây. Trở lại Ví dụ 1. Kí hiệu A là biến cố: "Thứ Ba , ông An đi làm bằng xe máy"; B là biến cố: "Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy". Ta vẽ sơ đồ hinh cây như sau: Trên nhánh cây OA và OA tương ứng ghi P A( ) và P( A) ; Trên nhánh cây AB và AB tương ứng ghi P B A ( ∣ ) và P B A ( ∣ ) ; Trên nhánh cây AB và AB tương ứng ghi P B A ( ∣ ) và P B A ( ∣ ). Có hai nhánh cây đỉ tới B là OAB và OAB . Vậy: P B( ) =  +  = 0,4 0,3 0,6 0,4 0,36. Luyện tập 2: Trở lại Ví dụ 1. Sử dụng sơ đồ hình cây, hãy mô tả cách tính xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe buýt. Lời giải Kí hiệu A là biến cố: “Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy”; B là biến cố: “Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy”. Khi đó, biến cố "Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe buýt" chính là B . Ta có sơ đồ hình cây mô tả xác suất của biến cố như sau: Hai nhánh cây đi tới B là OAB và OAB . Như vậy P(B) =  +  = 0,4 0,7 0,6 0,6 0,64 . Vận dụng: Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhăn, có hai gene ứng với hai kiểu hình này là gene trội B và gene lặn b.
Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một cách độc lập một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Giả sử cây bố và cây mẹ được chọn ngẫu nhiên từ một quần thể các cây đậu Hà Lan, ở đó tỉ lệ cây mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là 40% và 60%. Tính xác suất để cây con có kiểu gene bb. Lời giải Gọi A là biến cố: “Cây bố có kiểu gene bb”; M là biến cố: “Cây con lấy gene b từ cây bố”; N là biến cố: “Cây con lấy gene b từ cây mẹ”; E là biến cố: “Cây con có kiểu gene bb”. Theo giả thiết, M và N độc lập nên P(E) = P(M) ∙ P(N). Tính P(M): Ta áp dụng công thức xác suất toàn phần: P M P A P M A P P M * ( ) =  +   ( ) ( ∣ ∣ ) ( A) ( A) ( ) Ta có P A 0,4;P 0,6 ( ) = = ( A) . P M A ( ∣ ) là xác suất để cây con lấy gene b từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene bb. Do đó, P M A 1 ( ∣ ) = . P M( ∣ A) là xác suất để cây con lấy gene b từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene Bb . Do đó, P M 0,5 ( ∣ A) = . Thay vào (*) ta được: P M( ) =  +  = 0, 4 1 0,6 0,5 0,7 . Tương tự tính được P N( ) = 0,7 . Vậy P E P M P N ( ) =  =  = ( ) ( ) 0,7 0,7 0,49 . Từ kết quả trên suy ra trong một quần thể các cây đậu Hà Lan, mà ở đó tỉ lệ cây bố và cây mẹ mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là 40% và 60% , thì tỉ lệ cây con có kiểu gene bb là khoảng 49% . Luyện tập 3: Với giả thiết như phần vận dụng: Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhẵn, có hai gene ứng với hai kiểu hình này là gene trội B và gene lặn b. Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một cách độc lập một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Giả sử cây bố và cây mẹ được chọn ngẫu nhiên từ một quần thể các cây đậu Hà Lan, ở đó tỉ lệ cây mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là 40% và 60%. a) Hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene BB. b) Sử dụng kết quả của vận dụng trên và câu a, hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb. Lời giải a) Gọi A là biến cố: “Cây bố có kiểu gene bb”; K là biến cố: “Cây con nhận gene B từ bố”; H là biến cố: “Cây con nhận gene B từ mẹ”; F là biến cố: “Cây con có kiểu gene BB”. Theo giả thiết, K và H độc lập nên P(F) = P(K) ∙ P(H).