Title Chương 6. Các bài toán cực trị về biểu thức nhiều biến.doc ✅

Chương 6 Các bài toán cực trị về biểu thức nhiều biến 6.1. Giản lược kiến thức cơ bản 1. Ba phương pháp cơ bản tìm cực trị các biểu thức nhiều biến a) Phương pháp bất đẳng thức. Bất đẳng thức thường được sử dụng: Nếu ,ab là hai số dương thì 114 . abab  Dấu “=” xảy ra .ab b) Phương pháp tìm miền giá trị hàm số. Phương pháp bậc hai 20axbxc có nghiệm 240.bac Khi 0 , phương trình có nghiệm kép 12. 2 b xx a c) Phương pháp đồng biến và nghịch biến của các hàm số. Cho hàm số yfx xác định với mọi giá trị của x thuộc ℝ . Với 12,xx bất kì thuộc ℝ  Nếu 12xx mà 12fxfx thì hàm số yfx đồng biến trên ℝ .  Nếu 12xx mà 12fxfx thì hàm số yfx nghịch biến trên ℝ . 2. Hàm số bậc nhất yaxb đồng biến khi 0a và nghịch biến khi 0.a 3. Nếu 0a thì hàm số bậc hai 2yax đồng biến khi 0x và nghịch biến khi 0x . 4. Nếu 0a thì hàm số bậc hai 2yax đồng biến khi 0x và nghịch biến khi 0.x 6.2. Các bài toán vận dụng 6.2.1. Các bài toàn cực trị về biểu thức bậc nhất Bài 1: Tìm giá trị nguyên dương nhỏ nhất của biểu thức 3528Sxy , trong đó x và y là các số nguyên. Hướng dẫn Ta có 3528754Sxyxy . Đặt 54Pxy . Ta có S nhỏ nhất P là số nguyên dương nhỏ nhất. Xét phương trình 151 541415. 44  xx xyyxyyx Vì ,xy là số nguyên nên đặt 1 4 x t  là số nguyên 1451.xtyt Ta có: 14 51 xt yt     với t là số nguyên. Chọn 1 0 1 x t y     thỏa mãn 541xy Vậy min35287Sxy khi 1;1.xy Tổng quát: Nếu a và b là các số nguyên dương thì giá trị dương nhỏ nhất của biểu thức Saxby (với ,xy là các số nguyên) bằng d , với d là ước chung lớn nhất của a và b . Bài 2: Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 457xy để cho giá trị của biểu thức 53Sxy nhỏ nhất. Hướng dẫn Từ 457xy suy ra ,xy là các số nguyên trái dấu. 74 457. 5 x xyy  Xét hai trường hợp:
1. Nếu 0x và 374 053535 5 x yxyxyx  2113 53 5 x xy  có giá trị lớn nhất khi x là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn 457.xy Phương trình 457xy có nghiệm nguyên 52 . 34 xt yt     Do đó khi 1t thì 3x và 1y thỏa mãn 0,0,xyx là số nguyên dương nhỏ nhất. Khi đó min12.S 2. Nếu 0x và 0y thì 3742113 535. 55 xx Sxyx  Do đó S nhỏ nhất khi x là số nguyên âm lớn nhất trong tập hợp các nghiệm của phương trình 52 34 xt yt     với t là số nguyên. 02 05 x t y     và t nguyên 0,1,2.t Chọn min 2 01. 3 x tS y     So sánh hai trường hợp ta có minmin531Sxy khi 2 3 x y     Bài 3: Cho ,,,,xyztu là các biến thỏa mãn ,,,,0 . 1 xyztu xyztu     Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Axyyzzttuuytx và các giá trị ,,,,xyztu tương ứng. Hướng dẫn Nhận xét 21 24 xzuyt Axzuyt    1 max. 14 xzuyt A xyztu     Chọn 0 .1 2 xyu zt       Bài 4: Cho ,,xyz là các số thỏa mãn điều kiện 0,0,0 36 2372 (1) (2) xyz xby xz       trong đó b là số dương cho trước. Đặt .Mxyz Chứng minh rằng: 1. Nếu 3b thì giá trị lớn nhất của M bằng 36. 2. Nếu 3b thì giá trị lớn nhất của M bằng 36 24. b Hướng dẫn 1. Nếu 3b : cộng từng vế các bất phương trình (1) và (2) ta có: 3310831083xbyzxyzyby 3 36. 3 yb M 
Vì 330bb và do 3 00. 3 yb y  36max36MM khi 18 0 xz y     2. Nếu 3b : Vì 363631083xbybyxbyx 1083 3x y b   (3) (Vì 0b ). Vì 2372xzx nên 3372xzx (4) Từ (3) và (4) suy ra 1083 33372.x xyzx b   336 24. 3 xb xyz bb   Vì 330bb và 0x nên 3 0 3 xb b   . 33636 2424 3 xb M bbb   (hằng số) 36 max24M b khi 0 24. 36 x y z b        Bài 5: Tìm số dương lớn nhất trong ba số dương ,,xyz thỏa mãn hệ phương trình 112 112 112 (1) (2) (3) xy yz zx       Hướng dẫn Vai trò của ,,xyz trong (1), (2), (3) là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử 0xyz Xét các trường hợp: 1. Nếu 1 0 2zyx Khi đó hệ trở thành    1122 11220 2112 xyxy yzyzxyz zxzx         (loại) 2. Nếu 1 0 2zyx Khi đó hệ trở thành   8 9112 2 4 1122. 9 2222 2 9 x xyxy yzyzy zxzx z               3. Nếu 1 0 2zyx
Khi đó hệ trở thành 6 7 22 4 2. 7 22 2 7 x xy yzy zx z              4. Nếu 1 2zyx Khi đó hệ trở thành 2 3 22 2 22. 3 22 2 3 x xy yzy zx z              So sánh các trường hợp ta có số dương nhỏ nhất trong ba số dương ,,xyz thỏa mãn hệ phương trình đã cho là 8 9 . Bài 6: Cho ,xy là các số dương thỏa mãn điều kiện 216xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 64.Axy Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương: 6x và 4y . Ta có 64224.144Axyxy min144A khi 64xy và 21612;18.xyxy Bài 7: Cho ,,,xyzt là các số không âm thỏa mãn 750 60 15 xy xz yt       Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2.Axyzt Hướng dẫn Từ giả thiết suy ra 5055 ;60; 77 xx yzxt  và 75Ax với 050.x max125A khi 50;0;10;15xyzt . min75A khi 5055 0;;60;. 77xyzt Bài 8: Cho ,,xyz là các số không âm thỏa mãn 424 3626 xyz xyz     . Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 567.Axyz Hướng dẫn Từ giả thiết, biểu diễn ,xy theo z . Ta có 1814 21 . 1214 21 z x z y          Theo giả thiết, ,,xyz không âm, suy ra 9 0. 7z Khi đó 187 . 21 z A  Do đó maxmax 186 min0. 217AzzA